Demonstre que:
e) (A ∪ B) - C = (A - C) ∪ (B - C)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi proposto: Demonstre que . Esse problema está relacionado ao estudo de teoria dos conjuntos, especificamente às operações de união e diferença entre conjuntos. Para resolvermos, vamos utilizar as definições básicas dessas operações e propriedades dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significam as operações envolvidas:
  • União ( ): A ∪ B é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A, em B ou em ambos.
  • Diferença ( -): é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A mas não estão em C.
Com isso em mente, nosso objetivo é mostrar que remover C da união de A e B é o mesmo que unir as diferenças de A e B com C removido de cada um.

Passo 3

Vamos provar a igualdade mostrando que:
  1. Todo elemento de está em .
  2. Todo elemento de está em .

Passo 4

Primeira parte:
Seja . Isso significa que:
  • x in A U B (ou est�� em A ou em B ou em ambos),
  • e .
Se x em A e , então .
Se x em B e , então .
Portanto, .

Passo 5

Segunda parte:
Seja . Isso significa que:
  • ou .
Se , então x em A e .
Se , então x em B e .
Em ambos os casos, x in A U B e .
Portanto, .

Resposta

Assim, demonstramos que , ou seja, remover C da união de A e B é equivalente a unir as diferenças de cada conjunto com C.

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