Demonstre que:
e)
e)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi proposto: Demonstre que
. Esse problema está relacionado ao estudo de teoria dos conjuntos, especificamente às operações de união e diferença entre conjuntos. Para resolvermos, vamos utilizar as definições básicas dessas operações e propriedades dos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significam as operações envolvidas:
- União (
): é o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em ou em ambos. - Diferença (
): é o conjunto que contém todos os elementos que estão em mas não estão em .
Com isso em mente, nosso objetivo é mostrar que remover
da união de
e
é o mesmo que unir as diferenças de
e
com
removido de cada um.
Passo 3
Vamos provar a igualdade mostrando que:
- Todo elemento de
está em . - Todo elemento de
está em .
Passo 4
Primeira parte:
Seja
. Isso significa que:
-
(ou est�� em ou em ou em ambos), - e
.
Se
e
, então
.
Se e
, então
.
Se
Portanto,
.
Passo 5
Segunda parte:
Seja
. Isso significa que:
-
ou .
Se
, então
e
.
Se , então
e
.
Se
Em ambos os casos,
e
.
Portanto,
.
Resposta
Assim, demonstramos que
, ou seja, remover
da união de
e
é equivalente a unir as diferenças de cada conjunto com
.