Demonstre, pela definição de limite, que
lim x 2(4 x-3)=5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar, usando a definição de limite, que
lim x 2(4x - 3) = 5
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite em cálculo, especificamente utilizando a definição formal de limite para provar o valor do limite de uma função quando se aproxima de um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
limx to a f(x) = L
se, para todo número positivo , por menor que seja, existe um número positivo tal que sempre que , então .

Passo 3

No nosso caso, queremos provar que
lim x 2(4x - 3) = 5
Então, identificamos:

Passo 4

Segundo a definição, para provar que o limite de 0 < |x - 2| < de quando se aproxima de 2 é 5, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que

Passo 5

Vamos simplificar a expressão |(4x - 3) - 5| = |4x - 8| = 4|x - 2| :

Passo 6

Queremos que |x - 2| < epsilon4 . Para isso, podemos escolher
Isso garante que .

Passo 7

Portanto, se escolhemos |(4x - 3) - 5| = 4|x - 2| < epsilon , sempre que , teremos

Resposta

Assim, pela definição de limite, provamos que
lim x 2(4x - 3) = 5

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