Demonstre, pela definição de limite, que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar, usando a definição de limite, que
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite em cálculo, especificamente utilizando a definição formal de limite para provar o valor do limite de uma função quando
se aproxima de um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo número positivo
, por menor que seja, existe um número positivo
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
No nosso caso, queremos provar que
Então, identificamos:
Passo 4
Segundo a definição, para provar que o limite de
quando
se aproxima de 2 é 5, precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que
Passo 5
Vamos simplificar a expressão
:
Passo 6
Queremos que
. Para isso, podemos escolher
Isso garante que
.
Passo 7
Portanto, se escolhemos
, sempre que
, teremos
Resposta
Assim, pela definição de limite, provamos que