Verifique se a função
ê continua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
, que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de
, é contínua em
. Isso envolve o conceito de continuidade de funções e limites. A gente vai precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 e comparar com o valor da função em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Para
, a função é:
E para
, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da função para
. O numerador
pode ser fatorado:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar
para
:
Isso facilita na hora de calcular o limite.
Passo 5
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Passo 6
Agora, comparamos esse limite com o valor da função em
:
Passo 7
Para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Aqui, temos:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de 1 é diferente do valor da função em
, a função
não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Dado um número
, com
, definimos a função exponencial de base
como sendo
Use a regra da cadeia para calcular a derivada de
. Em seguida, compare-a com a derivada da função potência
.
Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)
Demonstre, pela definição de limite, que