Dado um número a > 0, com a <> 1, definimos a função exponencial de base a como sendo
a^x = e^(x * ln(a))
Use a regra da cadeia para calcular a derivada de a^x. Em seguida, compare-a com a derivada da função potência x^a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função exponencial com base , que é , e precisa calcular a derivada dessa função usando a regra da cadeia. Além disso, vamos comparar essa derivada com a da função potência . Então, o conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções exponenciais e potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função está escrita de uma forma que facilita a aplicação da regra da cadeia: .
A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta como , a derivada será . Aqui, .
Então, derivando:
Sabendo que é uma constante (já que é uma constante), a derivada de em relação a é simplesmente .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função potência .
A fórmula geral para a derivada de , onde é uma constante, é:
Aplicando isso para :

Passo 4

Vamos comparar as duas derivadas que encontramos:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Vemos que, apesar de ambas envolverem a constante , elas têm comportamentos diferentes. A derivada de é proporcional a e depende do logaritmo natural de , enquanto a derivada de é uma função de potência de .

Resposta

A derivada de é e a derivada de é . Assim, e .

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