Dado um número
, com
, definimos a função exponencial de base
como sendo
Use a regra da cadeia para calcular a derivada de
. Em seguida, compare-a com a derivada da função potência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função exponencial com base
, que é
, e precisa calcular a derivada dessa função usando a regra da cadeia. Além disso, vamos comparar essa derivada com a da função potência
. Então, o conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções exponenciais e potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função está escrita de uma forma que facilita a aplicação da regra da cadeia:
.
A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta como
, a derivada será
. Aqui,
.
Então, derivando:
Sabendo que
é uma constante (já que
é uma constante), a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função potência
.
A fórmula geral para a derivada de
, onde
é uma constante, é:
Aplicando isso para
:
Passo 4
Vamos comparar as duas derivadas que encontramos:
- Derivada de
: - Derivada de
:
Vemos que, apesar de ambas envolverem a constante
, elas têm comportamentos diferentes. A derivada de
é proporcional a
e depende do logaritmo natural de
, enquanto a derivada de
é uma função de potência de
.
Resposta
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim,
e
.
Exercícios relacionados
Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)
Investigue a continuidade nos pontos indicados:
(a)
(a)
Verifique se a função
ê continua em
.
Demonstre, pela definição de limite, que