Demonstre como determinar o potencial químico para um gás ideal.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o potencial químico de um gás ideal. Isso está relacionado à termodinâmica e à física dos gases. Para resolver, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e os conceitos de energia livre de Helmholtz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial químico $ \mu $ está relacionado à variação da energia livre de Helmholtz $ F $ com o número de partículas $ N $ a temperatura $ T $ e volume $ V $. A relação é dada por:
Passo 3
Para um gás ideal, a energia livre de Helmholtz $ F $ pode ser expressa em termos da função de partição $ Z $. A relação é:
onde $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Passo 4
A função de partição $ Z $ para um gás ideal de $ N $ partículas é:
Aqui, $ V $ é o volume do gás e $ \Lambda $ é o comprimento de onda térmico, dado por:
onde $ h $ é a constante de Planck e $ m $ é a massa das partículas.
Passo 5
Substituindo $ Z $ na expressão de $ F $:
Passo 6
Utilizando a aproximação de Stirling para grandes $ N $ (onde $ \ln N! \approx N \ln N - N $):
Passo 7
Agora, derivamos $ F $ em relação a $ N $ para obter $ \mu $:
Podemos também expressar isso em termos da densidade $ n = \frac{N}{V} $:
Resposta
O potencial químico para um gás ideal é dado por:
onde:
- $ k $ é a constante de Boltzmann,
- $ T $ é a temperatura,
- $ n $ é a densidade do gás ($ n = \frac{N}{V} $),
- $ \Lambda $ é o comprimento de onda térmico.