Demonstre como determinar o potencial químico para um gás ideal.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o potencial químico de um gás ideal. Isso está relacionado à termodinâmica e à física dos gases. Para resolver, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e os conceitos de energia livre de Helmholtz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial químico $ \mu $ está relacionado à variação da energia livre de Helmholtz $ F $ com o número de partículas $ N $ a temperatura $ T $ e volume $ V $. A relação é dada por:
mu

Passo 3

Para um gás ideal, a energia livre de Helmholtz $ F $ pode ser expressa em termos da função de partição $ Z $. A relação é:
F
onde $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.

Passo 4

A função de partição $ Z $ para um gás ideal de $ N $ partículas é:
Z
Aqui, $ V $ é o volume do gás e $ \Lambda $ é o comprimento de onda térmico, dado por:
N
onde $ h $ é a constante de Planck e $ m $ é a massa das partículas.

Passo 5

Substituindo $ Z $ na expressão de $ F $:
Z

Passo 6

Utilizando a aproximação de Stirling para grandes $ N $ (onde $ \ln N! \approx N \ln N - N $):
N

Passo 7

Agora, derivamos $ F $ em relação a $ N $ para obter $ \mu $:
F
Podemos também expressar isso em termos da densidade $ n = \frac{N}{V} $:
N

Resposta

O potencial químico para um gás ideal é dado por:
mu = kT ln ( 1n Lambda^3 )
onde:
  • $ k $ é a constante de Boltzmann,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ n $ é a densidade do gás ($ n = \frac{N}{V} $),
  • $ \Lambda $ é o comprimento de onda térmico.

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