Demonstre a equação para a altura de ascensão capilar. Desconsidere o peso do líquido entre a base e o topo do menisco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar a equação que determina a altura de ascensão capilar, ou seja, até onde o líquido sobe em um tubo capilar devido à ação da tensão superficial. Além disso, devemos desconsiderar o peso do líquido entre a base e o topo do menisco. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de tensão superficial, equilíbrio de forças e a relação entre elas na ascensão capilar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ascensão capilar. Quando um tubo fino (capilar) é mergulhado em um líquido, o líquido sobe ou desce nesse tubo devido à interação entre as forças de coesão (tensão superficial) do líquido e as forças de adesão entre o líquido e o material do tubo. No nosso caso, estamos considerando que o líquido sobe no tubo.

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças envolvidas nesse processo. Temos duas principais forças atuando:
  1. Força de tensão superficial (Fₜ): Essa força age na interface entre o líquido e o ar, puxando o líquido para cima devido à coesão das moléculas do líquido.
  2. Força gravitacional (F_g): Essa força age para baixo, devido ao peso do líquido que está subindo no tubo capilar.
Para que o líquido atinja um equilíbrio e pare de subir, essas duas forças devem se igualar.

Passo 4

Vamos calcular a força de tensão superficial. A força de tensão superficial pode ser expressa pela fórmula:
Fₜ = 2 pi r gamma cos theta
Onde:
  • $ r $ é o raio do tubo capilar,
  • $ \gamma $ é a tensão superficial do líquido,
  • $ \theta $ é o ângulo de contato entre o líquido e a parede do tubo.
O fator $ 2 \pi r $ representa o perímetro da base do menisco no tubo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a força gravitacional que age sobre o líquido elevado no tubo capilar. Essa força é dada por:
Fg = m g
Onde:
  • $ m $ é a massa do líquido elevado,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade.
A massa $ m $ pode ser expressa como $ m = \rho V $, onde $ \rho $ é a densidade do líquido e $ V $ é o volume ocupado pelo líquido na altura $ h $.
Então, substituindo $ m $:
m
Como o volume $ V $ do cilindro de líquido no tubo capilar é $ V = \pi r^2 h $, temos:
g

Passo 6

Para encontrar a altura de ascensão capilar $ h $, igualamos as duas forças:
h
Fₜ = Fg
Agora, vamos resolver para $ h $:
Primeiro, podemos simplificar ambos os lados da equação dividindo por $ \pi r $:
2 pi r gamma cos theta = rho pi r^2 h g
Agora, isolamos $ h $:
h

Resposta

A altura de ascensão capilar é dada por:
h = 2 gamma cos thetarho r g

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