O plutônio-239 é um elemento radioativo que apresenta um decaimento de primeira ordem com meia-vida de
anos. Quanto tempo é necessário para que uma quantidade de lixo radioativo desse elemento decaia para
do seu valor inicial?
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos o plutônio-239, que é um elemento radioativo, e sabemos que ele sofre decaimento de primeira ordem. A meia-vida desse elemento é de
anos. A pergunta quer saber quanto tempo leva para que uma quantidade inicial desse lixo radioativo caia para
do valor original. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial e o conceito de meia-vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do decaimento exponencial para decaimento de primeira ordem:
Aqui:
-
é a quantidade de substância que resta após o tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a constante de decaimento, -
é a base dos logaritmos naturais, -
é o tempo decorrido.
Passo 3
Sabemos que a meia-vida (
) está relacionada à constante de decaimento pela fórmula:
Vamos calcular
usando a meia-vida fornecida:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o tempo
para que a quantidade inicial
decaia para
de
, ou seja,
. Vamos substituir na fórmula do decaimento:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Substituindo
pelo valor que calculamos:
Calculando
:
Resposta
Seriam necessários aproximadamente
anos para que a quantidade de lixo radioativo de plutônio-239 decaia para
do seu valor inicial.