O plutônio-239 é um elemento radioativo que apresenta um decaimento de primeira ordem com meia-vida de 2,40 times 10^4 anos. Quanto tempo é necessário para que uma quantidade de lixo radioativo desse elemento decaia para 20 % do seu valor inicial?

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos o plutônio-239, que é um elemento radioativo, e sabemos que ele sofre decaimento de primeira ordem. A meia-vida desse elemento é de 2,40 times 10^4 anos. A pergunta quer saber quanto tempo leva para que uma quantidade inicial desse lixo radioativo caia para 20% do valor original. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial e o conceito de meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral do decaimento exponencial para decaimento de primeira ordem:
N(t) = N0 cdot e^-lambda t
Aqui:
  • N(t) é a quantidade de substância que resta após o tempo t,
  • N0 é a quantidade inicial,
  • lambda é a constante de decaimento,
  • e é a base dos logaritmos naturais,
  • t é o tempo decorrido.

Passo 3

Sabemos que a meia-vida ( T1/2) está relacionada à constante de decaimento pela fórmula:
lambda = ln(2)T1/2
Vamos calcular lambda usando a meia-vida fornecida:
lambda = ln(2)2,40 times 10^4 anos approx 0,6932,40 times 10^4 approx 2,89 times 10^-5 anos^-1

Passo 4

Agora, queremos encontrar o tempo t para que a quantidade inicial N0 decaia para 20% de N0, ou seja, N(t) = 0,20 cdot N0. Vamos substituir na fórmula do decaimento:
0,20 cdot N0 = N0 cdot e^-lambda t
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por N0:
0,20 = e^-lambda t

Passo 5

Para resolver para t, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(0,20) = -lambda t
Agora, isolamos t:
t = -ln(0,20)lambda

Passo 6

Substituindo lambda pelo valor que calculamos:
t = -ln(0,20)2,89 times 10^-5 anos^-1
Calculando ln(0,20) approx -1,6094:
t = --1,60942,89 times 10^-5 approx 1,60942,89 times 10^-5 approx 5,57 times 10^4 anos

Resposta

Seriam necessários aproximadamente 5,57 times 10^4 anos para que a quantidade de lixo radioativo de plutônio-239 decaia para 20% do seu valor inicial.

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