Demonstre as equações para ó raio, o periodo e a frequência angular do movimento circular uniforme descrito por uma particula carregada de massa
e carga
que se movimenta em uma região que tem a ação de um campo magnético homogêneo de módulo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ e carga $ q $ que está se movendo em um campo magnético homogêneo com módulo $ B $. Queremos descobrir três coisas sobre o movimento circular uniforme dessa partícula: o raio da trajetória, o período (quanto tempo leva para dar uma volta) e a frequência angular (como ela gira por segundo).
Para resolver isso, a gente vai usar algumas ideias básicas de física:
- Força magnética: a força que o campo magnético exerce sobre a partícula carregada.
- Movimento Circular Uniforme (MCU): movimento em que a partícula descreve uma trajetória circular com velocidade constante.
- Força centrípeta: a força que mantém a partícula na trajetória circular.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o raio ($ R $) da trajetória.
Quando a partícula se move no campo magnético, ela sente uma força magnética dada por:
onde:
- $ q $ é a carga da partícula,
- $ v $ é a velocidade,
- $ B $ é o campo magnético.
Essa força atua perpendicularmente à direção do movimento, fazendo a partícula se mover em círculo. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é:
Igualando as duas forças (porque a força magnética é a que está fornecendo a força centrípeta):
Agora, vamos resolver para $ R $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o período ($ T $), que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa.
Sabemos que no movimento circular, a relação entre a velocidade, o raio e o período é:
Queremos isolar $ T $, então:
Substituindo o valor de $ R $ que encontramos:
Passo 4
Por fim, vamos determinar a frequência angular ($ \omega $), que indica quão rápido a partícula está girando.
A frequência angular está relacionada ao período pela fórmula:
Substituindo o valor de $ T $ que achamos:
Resposta
As equações para o raio, o período e a frequência angular do movimento circular uniforme são:
-
Raio:
-
Período:
-
Frequência Angular: