Demonstre as equações para ó raio, o periodo e a frequência angular do movimento circular uniforme descrito por uma particula carregada de massa m e carga q que se movimenta em uma região que tem a ação de um campo magnético homogêneo de módulo B cdot(2,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa $ m $ e carga $ q $ que está se movendo em um campo magnético homogêneo com módulo $ B $. Queremos descobrir três coisas sobre o movimento circular uniforme dessa partícula: o raio da trajetória, o período (quanto tempo leva para dar uma volta) e a frequência angular (como ela gira por segundo).
Para resolver isso, a gente vai usar algumas ideias básicas de física:
  • Força magnética: a força que o campo magnético exerce sobre a partícula carregada.
  • Movimento Circular Uniforme (MCU): movimento em que a partícula descreve uma trajetória circular com velocidade constante.
  • Força centrípeta: a força que mantém a partícula na trajetória circular.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o raio ($ R $) da trajetória.
Quando a partícula se move no campo magnético, ela sente uma força magnética dada por:
R
onde:
  • $ q $ é a carga da partícula,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ B $ é o campo magnético.
Essa força atua perpendicularmente à direção do movimento, fazendo a partícula se mover em círculo. A força centrípeta necessária para manter o movimento circular é:
Fmag = q cdot v cdot B í
Igualando as duas forças (porque a força magnética é a que está fornecendo a força centrípeta):
q
Agora, vamos resolver para $ R $:
v

Passo 3

Agora, vamos encontrar o período ($ T $), que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa.
Sabemos que no movimento circular, a relação entre a velocidade, o raio e o período é:
T
Queremos isolar $ T $, então:
v = dfrac2pi RT
Substituindo o valor de $ R $ que encontramos:
T

Passo 4

Por fim, vamos determinar a frequência angular ($ \omega $), que indica quão rápido a partícula está girando.
A frequência angular está relacionada ao período pela fórmula:
omega
Substituindo o valor de $ T $ que achamos:
omega = dfrac2piT

Resposta

As equações para o raio, o período e a frequência angular do movimento circular uniforme são:
  • Raio:
    R = dfracm cdot vq cdot B
  • Período:
    T = dfrac2pi mq cdot B
  • Frequência Angular:
    omega = dfracq cdot Bm

Exercícios relacionados