Demonstre as equivalências abaixo:
a) A=B Leftrightarrow A-B=B-A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que duas coisas são equivalentes: $ A = B $ é o mesmo que $ A - B = B - A $. Isso tá no campo da Teoria dos Conjuntos, e pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa dois conjuntos serem iguais e o que é a diferença entre conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ A = B $. Dois conjuntos são iguais se todos os elementos de A estão em B e vice-versa. Ou seja, não tem nada em A que não esteja em B e nada em B que não esteja em A.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a diferença entre conjuntos. A diferença $ A - B $ é o conjunto de elementos que estão em A, mas não estão em B. Da mesma forma, $ B - A $ é o conjunto de elementos que estão em B, mas não estão em A.

Passo 4

Vamos começar mostrando que se $ A = B $, então $ A - B = B - A $.
  • Se $ A = B $, então não tem nenhum elemento que esteja em A e não em B, ou vice-versa.
  • Ou seja, $ A - B $ e $ B - A $ são ambos vazios: $ A - B = \emptyset $ e $ B - A = \emptyset $.
  • Assim, $ A - B = B - A $ porque $ \emptyset = \emptyset $.

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se $ A - B = B - A $, então $ A = B $.
  • Se $ A - B = B - A $, isso significa que os conjuntos de elementos únicos de A e de B são iguais.
  • Mas, para que isso seja verdade, não pode ter nenhum elemento único, ou seja, ambos $ A - B $ e $ B - A $ devem ser vazios.
  • Se $ A - B = \emptyset $ e $ B - A = \emptyset $, então todos os elementos de A estão em B e todos os elementos de B estão em A.
  • Portanto, $ A = B $.

Resposta

Então, mostramos que $ A = B $ se e somente se $ A - B = B - A $. Ou seja, as duas afirmações são equivalentes!

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