Demonstre as equivalências abaixo:
b)
b)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que $ A \subset B $ é equivalente a $ A - B = \emptyset $. Isso está relacionado aos conceitos de subconjuntos, diferença de conjuntos e conjuntos vazios. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser subconjunto de outro e o que acontece quando tiramos a diferença entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ A \subset B $. Isso quer dizer que todo elemento de A também pertence a B. Em outras palavras, não existe nenhum elemento em A que não esteja em B.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é $ A - B $. A diferença entre A e B, representada por $ A - B $, é o conjunto de elementos que estão em A mas não estão em B.
Passo 4
Vamos mostrar que se $ A \subset B $, então $ A - B = \emptyset $. Se todo elemento de A está em B, não sobra nenhum elemento em A que não esteja em B. Portanto, a diferença $ A - B $ não tem elementos, ou seja, é o conjunto vazio.
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se $ A - B = \emptyset $, então $ A \subset B $. Se não há elementos em A que não estejam em B, isso significa que todo elemento de A está em B. Portanto, A é um subconjunto de B.
Resposta
Assim, demonstramos que $ A \subset B $ é equivalente a $ A - B = \emptyset $.