Demonstre as equivalências abaixo:
e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é provar que duas afirmações são equivalentes. A afirmação e) diz que o complemento de $ A $ está contido no complemento de $ B $, ou seja, $ A^{C} \subset B^{C} $, é equivalente a dizer que a interseção de $ A $ com $ B $ é igual a $ B $, ou seja, $ A \cap B = B $.
Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ A^{C} \subset B^{C} $. Isso quer dizer que todo elemento que não está em $ A $ também não está em $ B $. Em termos lógicos, se um elemento não está em $ A $, então necessariamente não está em $ B $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o complemento de um conjunto $ A $, $ A^{C} $, é formado por todos os elementos que não estão em $ A $. Então, dizer que $ A^{C} \subset B^{C} $ é o mesmo que dizer que se um elemento não está em $ A $, ele também não está em $ B $.
Passo 4
Vamos reescrever a afirmação $ A^{C} \subset B^{C} $ usando lógica:
Se $ x \notin A $, então $ x \notin B $.
Isso é uma implicação lógica. Podemos reescrever essa condição de forma contrária: se $ x $ está em $ B $, então $ x $ está em $ A $. Em símbolos:
Se $ x \in B $, então $ x \in A $.
Passo 5
Essa última afirmação é exatamente a definição de que $ B \subset A $. Ou seja, todo elemento de $ B $ está em $ A $.
Passo 6
Agora, vamos analisar a outra parte da equivalência: $ A \cap B = B $. Isso significa que a interseção de $ A $ com $ B $ resulta no próprio $ B $. Em outras palavras, todos os elementos de $ B $ também estão em $ A $, o que novamente implica que $ B \subset A $.
Passo 7
Então, vimos que ambas as afirmações $ A^{C} \subset B^{C} $ e $ A \cap B = B $ levam à conclusão de que $ B \subset A $. Portanto, elas são equivalentes.
Resposta
Assim, demonstramos que $ A^{C} \subset B^{C} $ é equivalente a $ A \cap B = B $.