Prove que:
c) E cap F=emptyset Leftrightarrow P(E) cap P(F)=varnothing

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que duas afirmações são equivalentes:
  1. A interseção dos conjuntos $ E $ e $ F $ é vazia, ou seja, $ E \cap F = \emptyset $.
  2. A interseção dos poderes conjuntos de $ E $ e $ F $ contém apenas o conjunto vazio, isto é, $ \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) = {\emptyset} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseções e poderes conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ E \cap F = \emptyset $. Isso quer dizer que não há nenhum elemento que pertença simultaneamente a $ E $ e a $ F $. Em outras palavras, os conjuntos $ E $ e $ F $ não compartilham nenhum elemento.

Passo 3

Agora, vamos considerar os poderes conjuntos $ \mathcal{P}(E) $ e $ \mathcal{P}(F) $. O poder conjunto de um conjunto $ E $, denotado por $ \mathcal{P}(E) $, é o conjunto de todos os subconjuntos de $ E $. O mesmo vale para $ \mathcal{P}(F) $.

Passo 4

Queremos provar que $ \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) = {\emptyset} $ se e somente se $ E \cap F = \emptyset $. Isso significa que as duas condições são verdadeiras simultaneamente.

Passo 5

Vamos provar isso em duas partes: primeiro, mostraremos que se $ E \cap F = \emptyset $, então $ \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) = {\emptyset} $. Em seguida, mostraremos o contrário.

Passo 6

Parte 1: Suponha que $ E \cap F = \emptyset $. Queremos mostrar que a única coisa que $ \mathcal{P}(E) $ e $ \mathcal{P}(F) $ têm em comum é o conjunto vazio.
Se $ E $ e $ F $ não compartilham elementos, o único subconjunto que pertence a ambos $ \mathcal{P}(E) $ e $ \mathcal{P}(F) $ é o conjunto vazio $ \emptyset $, porque qualquer outro subconjunto de $ E $ não pode ser um subconjunto de $ F $, já que não há elementos comuns.

Passo 7

Parte 2: Agora, suponha que $ \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) = {\emptyset} $. Queremos mostrar que isso implica que $ E \cap F = \emptyset $.
Se $ E \cap F $ não fosse vazio, haveria pelo menos um elemento comum a $ E $ e $ F $. Então, o conjunto que contém apenas esse elemento estaria tanto em $ \mathcal{P}(E) $ quanto em $ \mathcal{P}(F) $, o que significaria que a interseção $ \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) $ teria mais elementos além de $ \emptyset $. Isso contraria nossa suposição, portanto $ E \cap F $ deve ser vazio.

Resposta

Assim, mostramos que $ E \cap F = \emptyset $ se e somente se $ \mathcal{P}(E) \cap \mathcal{P}(F) = {\emptyset} $, provando a equivalência desejada.

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