Demonstre as implicações abaixo e verifique se vale a recíproca, justificando sua resposta:
d) A cap B=emptyset Rightarrow A cap B^C=A

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas expressões envolvendo conjuntos: $ A \cap B = \emptyset $ e $ A \cap B^{C} = A $. O conteúdo aqui é sobre teoria dos conjuntos, especificamente sobre interseção, conjunto vazio e complemento de um conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam essas operações e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A \cap B = \emptyset $. Isso quer dizer que os conjuntos $ A $ e $ B $ não têm nenhum elemento em comum; eles são disjuntos.

Passo 3

Agora, vamos analisar $ A \cap B^{C} = A $. Aqui, $ B^{C} $ representa o complemento de $ B $, ou seja, todos os elementos que não estão em $ B $.

Passo 4

Para demonstrar a implicação $ A \cap B = \emptyset \Rightarrow A \cap B^{C} = A $, vamos assumir que $ A \cap B = \emptyset $ é verdadeiro e mostrar que isso leva à conclusão $ A \cap B^{C} = A $.

Passo 5

Se $ A \cap B = \emptyset $, nenhum elemento de $ A $ está em $ B $. Portanto, todos os elementos de $ A $ devem estar em $ B^{C} $, já que $ B^{C} $ contém exatamente os elementos que não estão em $ B $.

Passo 6

Isso significa que quando fazemos a interseção de $ A $ com $ B^{C} $, estamos pegando todos os elementos de $ A $ que também estão em $ B^{C} $. Mas como todos os elementos de $ A $ já estão em $ B^{C} $, a interseção $ A \cap B^{C} $ será igual a $ A $.

Passo 7

Portanto, mostramos que se $ A \cap B = \emptyset $ é verdadeiro, então necessariamente $ A \cap B^{C} = A $ também é verdadeiro. A implicação está demonstrada.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a recíproca é verdadeira, ou seja, se $ A \cap B^{C} = A \Rightarrow A \cap B = \emptyset $.

Passo 9

Suponha que $ A \cap B^{C} = A $. Isso significa que todos os elementos de $ A $ estão em $ B^{C} $, ou seja, nenhum elemento de $ A $ está em $ B $.

Passo 10

Se nenhum elemento de $ A $ está em $ B $, então a interseção $ A \cap B $ deve ser o conjunto vazio, $ \emptyset $.

Passo 11

Portanto, a recíproca também é verdadeira: se $ A \cap B^{C} = A $, então $ A \cap B = \emptyset $.

Resposta

A implicação $ A \cap B = \emptyset \Rightarrow A \cap B^{C} = A $ é verdadeira, e sua recíproca também é válida. Portanto, ambas as afirmações são equivalentes.

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