Demonstre as equivalências abaixo:
c) A cup B=emptyset Leftrightarrow A=emptyset e B=emptyset

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a união de dois conjuntos $ A $ e $ B $ ser vazia ($ A \cup B = \emptyset $) é equivalente a dizer que tanto $ A $ quanto $ B $ são vazios ($ A = \emptyset $ e $ B = \emptyset $). Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos, especificamente operações com conjuntos como união e o conjunto vazio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a união de conjuntos e o que representa o conjunto vazio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a união de dois conjuntos. A união $ A \cup B $ consiste em todos os elementos que estão em $ A $ ou em $ B $ ou em ambos. Já o conjunto vazio $ \emptyset $ é um conjunto que não contém nenhum elemento.

Passo 3

Agora, vamos provar a equivalência em duas partes. Primeiro, vamos mostrar que se $ A \cup B = \emptyset $, então $ A = \emptyset $ e $ B = \emptyset $.
Suponha que $ A \cup B = \emptyset $. Isso significa que não há nenhum elemento que esteja em $ A $ ou em $ B $. Se houvesse algum elemento em $ A $, ele estaria também em $ A \cup B $, o que contradiz $ A \cup B = \emptyset $. Portanto, $ A $ não pode ter nenhum elemento, ou seja, $ A = \emptyset $. Da mesma forma, se suponhamos que $ B $ tivesse algum elemento, ele também estaria em $ A \cup B $, o que não é possível. Logo, $ B = \emptyset $.

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: se $ A = \emptyset $ e $ B = \emptyset $, então $ A \cup B = \emptyset $.
Se $ A = \emptyset $ e $ B = \emptyset $, isso significa que não há elementos em $ A $ nem em $ B $. Portanto, quando fazemos a união $ A \cup B $, estamos unindo dois conjuntos que não têm elementos, resultando no conjunto vazio $ \emptyset $.

Resposta

Assim, demonstramos que $ A \cup B = \emptyset $ se e somente se $ A = \emptyset $ e $ B = \emptyset $.

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