Demonstre as implicações abaixo e verifique se vale a recíproca, justificando sua resposta:
a) A subset B e C subset D Rightarrow(A cap C) subset(B cap D)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que se $ A \subset B $ e $ C \subset D $, então $ (A \cap C) \subset (B \cap D) $. Vamos usar o conteúdo de conjuntos, especificamente de subconjuntos e interseções, para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ A \subset B $. Isso quer dizer que todo elemento de $ A $ também está em $ B $. O mesmo vale para $ C \subset D $: todo elemento de $ C $ está em $ D $.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que $ (A \cap C) \subset (B \cap D) $. Para isso, pega qualquer elemento $ x $ que está em $ A \cap C $. Por definição de interseção, isso significa que $ x $ está tanto em $ A $ quanto em $ C $.

Passo 4

Como $ x $ está em $ A $ e $ A \subset B $, então $ x $ também está em $ B $. Da mesma forma, como $ x $ está em $ C $ e $ C \subset D $, $ x $ está em $ D $.

Passo 5

Então, $ x $ está tanto em $ B $ quanto em $ D $, o que significa que $ x $ está em $ B \cap D $. Como escolhemos um elemento arbitrário de $ A \cap C $ e mostramos que ele está em $ B \cap D $, concluímos que $ (A \cap C) \subset (B \cap D) $.

Resposta

Portanto, se $ A \subset B $ e $ C \subset D $, então $ (A \cap C) \subset (B \cap D) $ é verdadeiro. A recíproca, no entanto, não é necessariamente verdadeira, pois $ (B \cap D) \subset (A \cap C) $ pode não ocorrer se houver elementos em $ B \cap D $ que não estão em $ A \cap C $.

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