Demonstre as implicações abaixo e verifique se vale a recíproca, justificando sua resposta:
b) A subset B e C=B-A Rightarrow A=B-C

Passo 1

Vamos analisar a questão: temos que $ A \subset B $ e $ C = B - A $. Precisamos demonstrar que $ A = B - C $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de conjuntos, como subconjuntos e diferença de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa $ C = B - A $. Isso quer dizer que $ C $ é o conjunto formado pelos elementos que estão em $ B $ mas não estão em $ A $.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que $ A = B - C $. Vamos analisar o lado direito da igualdade, ou seja, $ B - C $. Estamos retirando de $ B $ todos os elementos que estão em $ C $.

Passo 4

Mas sabemos que $ C = B - A $. Então, substituindo, temos:
C = B - A

Passo 5

Para resolver $ B - (B - A) $, observamos que estamos retirando de $ B $ todos os elementos de $ B $ que não estão em $ A $. Portanto, o que resta é exatamente $ A $.

Passo 6

Assim, chegamos à conclusão de que:
B - C = A

Passo 7

Portanto, mostramos que se $ A \subset B $ e $ C = B - A $, então $ A = B - C $.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a recíproca é verdadeira, ou seja, se $ A = B - C $, implica que $ A \subset B $ e $ C = B - A $.

Passo 9

Assumindo que $ A = B - C $, sabemos que $ A $ consiste nos elementos de $ B $ que não estão em $ C $. Logo, todos os elementos de $ A $ estão em $ B $, ou seja, $ A \subset B $.

Passo 10

Além disso, se $ A = B - C $, então $ C = B - A $, pois $ C $ é definido como os elementos de $ B $ que não estão em $ A $.

Passo 11

Portanto, a recíproca também é verdadeira.

Resposta

Sim, se $ A \subset B $ e $ C = B - A $, então $ A = B - C $, e a recíproca também é válida.

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