Demonstre que a função
satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação
. Para fazer isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de
e depois somar essas funções para ver se chegamos na expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma derivada. A derivada de uma função dá a taxa de variação dessa função em relação a
. Basicamente, nos diz como a função está mudando naquele ponto.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
, que é
. Para cada termo da função, aplicamos a regra da potência: ao derivar
, multiplicamos pelo expoente
e diminuímos o expoente em 1.
Então,
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é
. Isso significa derivar a função
que acabamos de encontrar.
Derivando termo a termo:
Passo 5
Com
,
e
calculados, vamos somar todas elas conforme a equação dada:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:
Resposta
Portanto, mostramos que:
O que confirma que a função
satisfaz a equação dada.