Demonstre que a função y = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 satisfaz a equação y + y' + y'' = x^4 - 3x^3 + 10x^2 - 5x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação . Para fazer isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada de e depois somar essas funções para ver se chegamos na expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma derivada. A derivada de uma função dá a taxa de variação dessa função em relação a . Basicamente, nos diz como a função está mudando naquele ponto.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de , que é . Para cada termo da função, aplicamos a regra da potência: ao derivar , multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.
Então,
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é . Isso significa derivar a função que acabamos de encontrar.
Derivando termo a termo:

Passo 5

Com , e calculados, vamos somar todas elas conforme a equação dada:
Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando cada grupo:

Resposta

Portanto, mostramos que:
O que confirma que a função satisfaz a equação dada.

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