Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f(x) = sen(pi x), no intervalo [-2,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e análise de intervalos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são valores máximo e mínimo absolutos. Um valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo considerado, e o mínimo absoluto é o menor valor que ela atinge nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar esses valores, precisamos identificar os pontos críticos da função no intervalo . Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde :

Passo 6

Sabemos que quando , onde é um inteiro.
Então,

Passo 7

Dentro do intervalo , vamos encontrar os valores de :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Então, os pontos críticos no intervalo são . Além disso, os extremos podem ocorrer também nas extremidades do intervalo, isto é, em e .

Passo 9

Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, vamos analisar os valores obtidos:
  • Máximos: e
  • Mínimos: e

Resposta

O valor máximo absoluto da função é e o valor mínimo absoluto é no intervalo .

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