Encontre os intervalos nos quais f(x) = ln(x) é crescente ou decrescente. Encontre os valores máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . A questão envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar máximos e mínimos locais, além de analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente analisando o sinal da primeira derivada .
  • Se , a função é crescente.
  • Se , a função é decrescente.
Como :
  • Para , , então é crescente.
  • Para , não está definida.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a função possui valores máximos ou mínimos locais. Para isso, analisamos onde a primeira derivada é zero ou não existe.
A equação não possui solução real, já que nunca é zero para . Portanto, a função não possui máximos ou mínimos locais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de é:

Passo 6

Vamos analisar a concavidade observando o sinal da segunda derivada .
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Como :
  • Para , , então é côncava para baixo.
  • A função não está definida para .

Passo 7

Por fim, vamos verificar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a segunda derivada muda de sinal.
Observando , percebemos que ela é sempre negativa para e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão na função .

Resposta

A função é crescente em todo o seu domínio e não possui máximos ou mínimos locais. Ela é côncava para baixo nesse intervalo e não possui pontos de inflexão.

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