Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores máximo e mínimo locais, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A questão envolve conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar máximos e mínimos locais, além de analisar a concavidade e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde a função é crescente ou decrescente analisando o sinal da primeira derivada
.
- Se
, a função é crescente. - Se
, a função é decrescente.
Como
:
- Para
, , então é crescente. - Para
, não está definida.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a função possui valores máximos ou mínimos locais. Para isso, analisamos onde a primeira derivada é zero ou não existe.
A equação
não possui solução real, já que
nunca é zero para
. Portanto, a função
não possui máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
para analisar a concavidade e os pontos de inflexão. A segunda derivada de
é:
Passo 6
Vamos analisar a concavidade observando o sinal da segunda derivada
.
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Como
:
- Para
, , então é côncava para baixo. - A função
não está definida para .
Passo 7
Por fim, vamos verificar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a segunda derivada muda de sinal.
Observando
, percebemos que ela é sempre negativa para
e nunca muda de sinal. Portanto, não há pontos de inflexão na função
.
Resposta
A função
é crescente em todo o seu domínio
e não possui máximos ou mínimos locais. Ela é côncava para baixo nesse intervalo e não possui pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
, no intervalo [-2,2].
Demonstre que a função
satisfaz a equação
.
Encontre a equação da reta tangente à parábola
no ponto
.
Encontre a derivada de
.