Demonstre a identidade hexagonal
binomn-1k-1binomnk+1binomn+1k=binomn-1kbinomn+1k+1binomnk-1
Justifique o nome dado à identidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma identidade que envolve coeficientes binomiais, especificamente a chamada identidade hexagonal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coeficientes binomiais e como manipulá-los em equações. Basicamente, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais para transformar um lado da equação no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial. Ele é representado por binomnk = n!k!(n-k)! e significa “n escolhe k”. A fórmula para calcular isso é:
Onde é o fatorial de n.

Passo 3

Agora, vamos escrever cada um dos coeficientes binomiais da identidade usando a fórmula do fatorial. Assim, temos:
binomn-1k-1 = (n-1)!(k-1)!(n - k)!
binomnk+1 = n!(k+1)!(n - k -1)!
binomn+1k = (n+1)!k!(n+1 - k)!
E do outro lado da igualdade:
binomn-1k = (n-1)!k!(n-1 - k)!
binomn+1k+1 = (n+1)!(k+1)!(n+1 - (k+1))! = (n+1)!(k+1)!(n - k)!
binomnk-1 = n!(k-1)!(n - (k-1))! = n!(k-1)!(n - k +1)!

Passo 4

Vamos multiplicar os coeficientes binomiais do lado esquerdo da igualdade:
binomn-1k-1binomnk+1binomn+1k = (n-1)!(k-1)!(n - k)! times n!(k+1)!(n - k -1)! times (n+1)!k!(n+1 - k)!
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, simplificamos os fatoriais:
  • (n-1)!(k-1)!(n - k)! times n!(k+1)!(n - k -1)! times (n+1) times n!k!(n+1 - k)!
Agora, substituindo:

Passo 6

Vamos reescrever os denominadores para ver se conseguimos cancelar alguns termos:
  • (n-1)!(k-1)! (n - k) (n - k -1)! times n!(k+1)! (n - k -1)! times (n+1) times n!k! (n - k +1) (n - k)!
Substituindo isso na expressão:

Passo 7

Agora, vamos identificar termos que se cancelam:
  • (n-1)! times n! times (n+1)(k-1)! times (k+1)! times k! times (n - k +1) aparece no denominador das duas primeiras frações, então eles se cancelam.
  • aparece no denominador da primeira e da terceira fração.
  • simplifica, pois e outras partes se cancelam.
Após simplificar, ficamos com:

Passo 8

Vamos agora montar o lado direito da identidade e simplificar da mesma forma:
binomn-1kbinomn+1k+1binomnk-1 = (n-1)!k!(n-1 - k)! times (n+1)!(k+1)!(n - k)! times n!(k-1)!(n - k +1)!
Simplificando os fatoriais, de maneira semelhante ao que fizemos no passo anterior, chegamos à mesma expressão que obtivemos do lado esquerdo.

Passo 9

Como chegamos à mesma expressão em ambos os lados da igualdade após simplificar, isso confirma que a identidade está correta.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
binomn-1k-1binomnk+1binomn+1k = binomn-1kbinomn+1k+1binomnk-1
Essa igualdade é chamada de identidade hexagonal porque a disposição dos termos e suas interações lembram a simetria de um hexágono, onde cada termo está relacionado de forma equilibrada aos outros, formando um padrão geométrico semelhante a seis lados.

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