Demonstre a identidade hexagonal
Justifique o nome dado à identidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar uma identidade que envolve coeficientes binomiais, especificamente a chamada identidade hexagonal. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coeficientes binomiais e como manipulá-los em equações. Basicamente, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais para transformar um lado da equação no outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial. Ele é representado por
e significa “n escolhe k”. A fórmula para calcular isso é:
Onde
é o fatorial de n.
Passo 3
Agora, vamos escrever cada um dos coeficientes binomiais da identidade usando a fórmula do fatorial. Assim, temos:
E do outro lado da igualdade:
Passo 4
Vamos multiplicar os coeficientes binomiais do lado esquerdo da igualdade:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, simplificamos os fatoriais:
Agora, substituindo:
Passo 6
Vamos reescrever os denominadores para ver se conseguimos cancelar alguns termos:
Substituindo isso na expressão:
Passo 7
Agora, vamos identificar termos que se cancelam:
-
aparece no denominador das duas primeiras frações, então eles se cancelam. -
aparece no denominador da primeira e da terceira fração. -
simplifica, pois e outras partes se cancelam.
Após simplificar, ficamos com:
Passo 8
Vamos agora montar o lado direito da identidade e simplificar da mesma forma:
Simplificando os fatoriais, de maneira semelhante ao que fizemos no passo anterior, chegamos à mesma expressão que obtivemos do lado esquerdo.
Passo 9
Como chegamos à mesma expressão em ambos os lados da igualdade após simplificar, isso confirma que a identidade está correta.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Essa igualdade é chamada de identidade hexagonal porque a disposição dos termos e suas interações lembram a simetria de um hexágono, onde cada termo está relacionado de forma equilibrada aos outros, formando um padrão geométrico semelhante a seis lados.
Exercícios relacionados
(a) Determine para que valores de
, o coeficiente binomial
é máximo;
(a) Mostre que
números zero e
números um podem ser concatenados sem que dois números zero fiquem juntos de
maneiras diferentes;
Mostre que
. Essa identidade pode ser usada na dedução do número de
-combinações de
objetos com repetições.
Duas retas paralelas são marcadas uma em
pontos e outra em
pontos distintos.
(b) Quantos quadriláteros diferentes podemos formar usando esses pontos?
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