Mostre que . Essa identidade pode ser usada na dedução do número de -combinações de objetos com repetições.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a soma dos coeficientes binomiais de até é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais e entendimentos básicos de combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a soma que precisamos calcular:
Aqui, estamos somando coeficientes binomiais onde o segundo número é sempre , e o primeiro varia de a .

Passo 3

Sabemos que o coeficiente binomial representa o número de maneiras de escolher objetos entre . Uma propriedade importante dos coeficientes binomiais é a Identidade do Raio de Hockey (Hockey-stick identity), que nos diz que:
Essa identidade é útil para somar uma sequência de coeficientes binomiais com o mesmo segundo termo.

Passo 4

Aplicando a Identidade do Raio de Hockey à nossa soma, temos:
Simplificando o lado direito:

Resposta

Portanto,

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Demonstre a identidade hexagonal
Justifique o nome dado à identidade.
(a) Determine para que valores de , o coeficiente binomial é máximo;
Duas retas paralelas são marcadas uma em pontos e outra em pontos distintos.
(b) Quantos quadriláteros diferentes podemos formar usando esses pontos?
(a) Quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação ?