Mostre que binomkk+binomk+1k+cdots+binomk+nk=binomk+n+1k+1. Essa identidade pode ser usada na dedução do número de k-combinações de n objetos com repetições.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a soma dos coeficientes binomiais de dbinomkk até dbinomk+nk é igual a dbinomk+n+1k+1. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais e entendimentos básicos de combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a soma que precisamos calcular:
dbinomkk + dbinomk+1k + cdots + dbinomk+nk
Aqui, estamos somando coeficientes binomiais onde o segundo número é sempre k, e o primeiro varia de k a k+n.

Passo 3

Sabemos que o coeficiente binomial dbinommk representa o número de maneiras de escolher k objetos entre m. Uma propriedade importante dos coeficientes binomiais é a Identidade do Raio de Hockey (Hockey-stick identity), que nos diz que:
dbinomrk + dbinomr+1k + cdots + dbinomnk = dbinomn+1k+1
Essa identidade é útil para somar uma sequência de coeficientes binomiais com o mesmo segundo termo.

Passo 4

Aplicando a Identidade do Raio de Hockey à nossa soma, temos:
dbinomkk + dbinomk+1k + cdots + dbinomk+nk = dbinom(k+n)+1k+1
Simplificando o lado direito:
dbinomk+n+1k+1

Resposta

Portanto,
dbinomkk + dbinomk+1k + cdots + dbinomk+nk = dbinomk+n+1k+1

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