Mostre que
. Essa identidade pode ser usada na dedução do número de
-combinações de
objetos com repetições.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a soma dos coeficientes binomiais de
até
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos coeficientes binomiais e entendimentos básicos de combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a soma que precisamos calcular:
Aqui, estamos somando coeficientes binomiais onde o segundo número é sempre
, e o primeiro varia de
a
.
Passo 3
Sabemos que o coeficiente binomial
representa o número de maneiras de escolher
objetos entre
. Uma propriedade importante dos coeficientes binomiais é a Identidade do Raio de Hockey (Hockey-stick identity), que nos diz que:
Essa identidade é útil para somar uma sequência de coeficientes binomiais com o mesmo segundo termo.
Passo 4
Aplicando a Identidade do Raio de Hockey à nossa soma, temos:
Simplificando o lado direito:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Demonstre a identidade hexagonal
Justifique o nome dado à identidade.
(a) Determine para que valores de
, o coeficiente binomial
é máximo;
Duas retas paralelas são marcadas uma em
pontos e outra em
pontos distintos.
(b) Quantos quadriláteros diferentes podemos formar usando esses pontos?
(b) Quantos quadriláteros diferentes podemos formar usando esses pontos?
(a) Quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação
?