Demonstre as identidades.

Passo 1

Vamos resolver a identidade trigonométrica . Nesta questão, trabalharemos com funções trigonométricas básicas como tangente ( ), seno ( ), cosseno ( ) e secante ( ). Para resolver, vamos usar definições das funções trigonométricas e propriedades das identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções que aparecem na expressão:
  • Tangente:
  • Secante:
Vamos substituir pela sua definição na expressão original.

Passo 3

Substituindo por na expressão original, temos:

Passo 4

Multiplicando por , obtemos:

Passo 5

Para somar as frações, vamos colocá-las com um denominador comum. O denominador comum é :

Passo 6

Sabemos pela identidade trigonométrica fundamental que:
Substituindo na expressão:

Passo 7

A expressão é a definição de . Portanto:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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