Demonstre que a interseção de convexos é ainda um convexo. Mostre, exibindo um contraexemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre conjuntos convexos. A questão pede para a gente provar que a interseção de conjuntos convexos continua sendo convexo e mostrar, com um contraexemplo, que a união de conjuntos convexos pode não ser convexa. Para isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e como trabalhar com interseções e uniões de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto
no espaço euclidiano é convexo se, para quaisquer dois pontos
e
em
, o segmento de reta que liga
a
também está totalmente dentro de
. Em termos matemáticos, isso significa que para todo
entre 0 e 1:
Passo 3
Agora, vamos provar que a interseção de conjuntos convexos é convexa. Seja
e
dois conjuntos convexos, e vamos considerar a interseção deles
. Queremos mostrar que
é convexo.
Passo 4
Tomemos quaisquer dois pontos
e
em
. Como
é a interseção de
e
, isso significa que
e
estão tanto em
quanto em
.
Passo 5
Como
é convexo, o segmento de reta entre
e
está todo dentro de
. Ou seja, para todo
, temos:
Passo 6
Da mesma forma, como
é convexo, o mesmo segmento de reta está todo dentro de
:
Passo 7
Portanto, para todo
, o ponto
está tanto em
quanto em
. Isso significa que ele está na interseção
:
Passo 8
Como isso é válido para quaisquer
e
em
e para todo
, concluímos que
é convexo.
Passo 9
Agora, vamos mostrar que a união de conjuntos convexos pode não ser convexa. Para isso, vamos apresentar um contraexemplo.
Passo 10
Considere dois conjuntos convexos no plano
:
e
. Ambos são convexos porque, para qualquer dois pontos dentro de cada conjunto, o segmento de reta entre eles permanece dentro do conjunto.
Passo 11
Agora, consideremos a união desses conjuntos
. Vamos escolher dois pontos:
em
e
em
.
Passo 12
O segmento de reta entre
e
é a linha vertical passando por
para
entre -1 e 1. Porém, os pontos com
entre -1 e 1, exceto os extremos, não estão nem em
nem em
. Isso significa que parte do segmento de reta não está na união
.
Passo 13
Logo, existe um par de pontos em
cuja reta entre eles não está completamente dentro de
. Isso mostra que
não é convexo.
Resposta
Demonstramos que a interseção de conjuntos convexos é convexo e, por meio de um contraexemplo, mostramos que a união de conjuntos convexos pode não ser convexo.
Exercícios relacionados
Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos está totalmente nele contido. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos são o próprio plano e qualquer semiplano. Mostre que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo.
Usando somente os axiomas de incidência e de ordem, assim como os resultados deduzidos desses axiomas, prove que uma reta não pode estar contida no interior de um triângulo.
Verifique se
é combinação linear de
e
.
.
Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.
.