Demonstre que a interseção de convexos é ainda um convexo. Mostre, exibindo um contraexemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre conjuntos convexos. A questão pede para a gente provar que a interseção de conjuntos convexos continua sendo convexo e mostrar, com um contraexemplo, que a união de conjuntos convexos pode não ser convexa. Para isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e como trabalhar com interseções e uniões de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto lambda x + (1 - lambda) y in C no espaço euclidiano é convexo se, para quaisquer dois pontos e em , o segmento de reta que liga a também está totalmente dentro de . Em termos matemáticos, isso significa que para todo entre 0 e 1:

Passo 3

Agora, vamos provar que a interseção de conjuntos convexos é convexa. Seja e dois conjuntos convexos, e vamos considerar a interseção deles . Queremos mostrar que é convexo.

Passo 4

Tomemos quaisquer dois pontos e em . Como é a interseção de e , isso significa que e estão tanto em quanto em .

Passo 5

Como lambda x + (1 - lambda) y in C1 é convexo, o segmento de reta entre e está todo dentro de . Ou seja, para todo , temos:

Passo 6

Da mesma forma, como lambda x + (1 - lambda) y in C2 é convexo, o mesmo segmento de reta está todo dentro de :

Passo 7

Portanto, para todo lambda x + (1 - lambda) y in C , o ponto está tanto em quanto em . Isso significa que ele está na interseção :

Passo 8

Como isso é válido para quaisquer e em e para todo , concluímos que é convexo.

Passo 9

Agora, vamos mostrar que a união de conjuntos convexos pode não ser convexa. Para isso, vamos apresentar um contraexemplo.

Passo 10

Considere dois conjuntos convexos no plano : e . Ambos são convexos porque, para qualquer dois pontos dentro de cada conjunto, o segmento de reta entre eles permanece dentro do conjunto.

Passo 11

Agora, consideremos a união desses conjuntos . Vamos escolher dois pontos: em e em .

Passo 12

O segmento de reta entre e é a linha vertical passando por para entre -1 e 1. Porém, os pontos com entre -1 e 1, exceto os extremos, não estão nem em nem em . Isso significa que parte do segmento de reta não está na união .

Passo 13

Logo, existe um par de pontos em cuja reta entre eles não está completamente dentro de . Isso mostra que não é convexo.

Resposta

Demonstramos que a interseção de conjuntos convexos é convexo e, por meio de um contraexemplo, mostramos que a união de conjuntos convexos pode não ser convexo.

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