Verifique se w é combinação linear de u, v e w. m=(1,1,-8), u=(2,0,2), v=(1,1,1) e w=(0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o vetor w = (0,0,2) é uma combinação linear dos vetores u = (2,0,2), v = (1,1,1) e ele mesmo, w = (0,0,2). Isso pertence ao conteúdo de combinação linear de vetores. Para resolver, vamos ver se conseguimos encontrar coeficientes que, ao multiplicar cada vetor por eles e somar, resultem no vetor w.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é combinação linear. Uma combinação linear de vetores u, v e w é uma expressão da forma:
a cdot u + b cdot v + c cdot w
onde a, b e c são escalares (números reais). Nosso objetivo é encontrar valores para a, b e c que satisfaçam:
a cdot u + b cdot v + c cdot w = w

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação:
a cdot (2,0,2) + b cdot (1,1,1) + c cdot (0,0,2) = (0,0,2)
Isso resulta em:
(2a + b + 0c, 0a + b + 0c, 2a + b + 2c) = (0,0,2)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes:
  1. Componente x: 2a + b = 0
  2. Componente y: b = 0
  3. Componente z: 2a + b + 2c = 2

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  • Da segunda equação, já sabemos que b = 0.
  • Substituindo b = 0 na primeira equação: 2a = 0 Rightarrow a = 0
  • Agora, substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação: 0 + 0 + 2c = 2 Rightarrow 2c = 2 Rightarrow c = 1

Passo 6

Encontramos os coeficientes: a = 0, b = 0 e c = 1. Isso significa que:
0 cdot u + 0 cdot v + 1 cdot w = w
Portanto, w é uma combinação linear de u, v e w.

Resposta

Sim, o vetor w = (0,0,2) é uma combinação linear de u, v e w, especificamente w = 0 cdot u + 0 cdot v + 1 cdot w.

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