Verifique se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa os vetores serem L.I. ou L.D. e aplicar isso ao conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos considerar cada elemento como um vetor em
, já que eles têm um único componente. Queremos verificar se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que iguale a zero.
Passo 4
Vamos montar a equação da combinação linear:
Agora, precisamos encontrar valores para
e
que satisfaçam essa equação além de
.
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Podemos isolar
:
Isso mostra que para qualquer valor de
, podemos encontrar um
que satisfaz a equação. Por exemplo, se
, então
. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial que resulta em zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente.