Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos está totalmente nele contido. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos são o próprio plano e qualquer semiplano. Mostre que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo. Então, estamos trabalhando com conjuntos convexos e semiplanos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e o que define um semiplano no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto no plano é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, todo o segmento de reta que liga esses pontos também está completamente dentro do conjunto. Em outras palavras, não tem “buracos” ou “curvas para fora” que cortem o segmento entre dois pontos.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre semiplanos. Um semiplano é uma das duas partes em que uma reta divide o plano. Imagine uma linha reta no papel; ela divide o plano em duas metades infinitas. Cada uma dessas metades é um semiplano. Por exemplo, se temos a reta
, um semiplano seria todos os pontos onde
e o outro onde
.
Passo 4
Queremos provar que a interseção de dois semiplanos é convexa. Vamos chamar nossos dois semiplanos de
e
. A interseção deles,
, consiste nos pontos que pertencem aos dois semiplanos ao mesmo tempo.
Passo 5
Para mostrar que
é convexo, precisamos pegar quaisquer dois pontos
e
nessa interseção e mostrar que todo o segmento que liga
a
também está na interseção.
Passo 6
Como
e
estão em
, eles pertencem tanto a
quanto a
. Sabemos que semiplanos são convexos por definição, então o segmento
está totalmente contido em
e também em
.
Passo 7
Já que todo ponto do segmento
está em
e em
, ele definitivamente está em
. Portanto, qualquer segmento entre dois pontos em
está totalmente dentro de
.
Resposta
Assim, provamos que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo.
Exercícios relacionados
Usando somente os axiomas de incidência e de ordem, assim como os resultados deduzidos desses axiomas, prove que uma reta não pode estar contida no interior de um triângulo.
Indique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:
A negação da proposição Se 3 é um número ímpar, então 9 é par é a proposição Se 3 é um número ímpar, então 9 é ímpar.
A negação da proposição Se 3 é um número ímpar, então 9 é par é a proposição Se 3 é um número ímpar, então 9 é ímpar.
Demonstre que a interseção de convexos é ainda um convexo. Mostre, exibindo um contraexemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
Verifique se
é combinação linear de
e
.
.