Um subconjunto do plano é convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos está totalmente nele contido. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos são o próprio plano e qualquer semiplano. Mostre que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo. Então, estamos trabalhando com conjuntos convexos e semiplanos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e o que define um semiplano no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto no plano é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, todo o segmento de reta que liga esses pontos também está completamente dentro do conjunto. Em outras palavras, não tem “buracos” ou “curvas para fora” que cortem o segmento entre dois pontos.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre semiplanos. Um semiplano é uma das duas partes em que uma reta divide o plano. Imagine uma linha reta no papel; ela divide o plano em duas metades infinitas. Cada uma dessas metades é um semiplano. Por exemplo, se temos a reta , um semiplano seria todos os pontos onde e o outro onde .

Passo 4

Queremos provar que a interseção de dois semiplanos é convexa. Vamos chamar nossos dois semiplanos de e . A interseção deles, , consiste nos pontos que pertencem aos dois semiplanos ao mesmo tempo.

Passo 5

Para mostrar que é convexo, precisamos pegar quaisquer dois pontos e nessa interseção e mostrar que todo o segmento que liga a também está na interseção.

Passo 6

Como e estão em , eles pertencem tanto a quanto a . Sabemos que semiplanos são convexos por definição, então o segmento está totalmente contido em e também em .

Passo 7

Já que todo ponto do segmento está em e em , ele definitivamente está em . Portanto, qualquer segmento entre dois pontos em está totalmente dentro de .

Resposta

Assim, provamos que a interseção de dois semiplanos é um conjunto convexo.

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