Demonstre matematicamente a expressão da resposta completa de um circuito RC e depois de um circuito RL.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para a gente demonstrar matematicamente a expressão da resposta completa de dois tipos de circuitos: o RC (resistor e capacitor) e o RL (resistor e indutor). Isso envolve conhecimentos de circuitos elétricos e equações diferenciais. Vamos precisar entender como esses componentes se comportam e como formar as equações que descrevem o circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o circuito RC. Um circuito RC básico tem um resistor ® e um capacitor © ligados em série com uma fonte de tensão. Quando a tensão é aplicada, o capacitor começa a carregar através do resistor.
A lei de Kirchhoff das tensões nos diz que a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor é igual à tensão da fonte:
V(t) = VR(t) + VC(t)
Sabemos que a tensão no resistor é dada por i(t) = dq(t)dt e no capacitor por . Também sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos substituir essas expressões na equação de Kirchhoff:
V(t) = R cdot dq(t)dt + q(t)C
Essa é uma equação diferencial linear que descreve o comportamento do circuito RC. Para resolver, vamos supor que a tensão aplicada seja uma fonte de degrau para .

Passo 4

A equação fica:
V0 = R cdot dq(t)dt + q(t)C
Vamos reorganizar para facilitar a resolução:
dq(t)dt + 1RC q(t) = V0R
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e da solução particular.

Passo 5

A solução da equação homogênea qh(t) = K e^-t/(RC) é:
qp(t) = C cdot V0
Onde é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.
A solução particular para a equação completa é uma constante, já que o lado direito é uma constante:

Passo 6

Assim, a solução geral para a carga no capacitor é:
q(t) = qh(t) + qp(t) = K e^-t/(RC) + C V0
Aplicando a condição inicial 0 = K + C V0 implies K = -C V0 (capacitor vazio no instante inicial):
q(t) = C V0 (1 - e^-t/(RC))
Portanto:

Passo 7

A corrente i(t) = dq(t)dt = V0R e^-t/(RC) é a derivada da carga:
Essa é a resposta completa do circuito RC, que inclui tanto a resposta transitória quanto a permanente.

Passo 8

Agora, vamos para o circuito RL. Um circuito RL básico tem um resistor ® e um indutor (L) ligados em série com uma fonte de tensão. Quando a tensão é aplicada, o indutor começa a gerar uma força contra-eletromotriz que impede mudanças rápidas na corrente.
Aplicamos a lei de Kirchhoff das tensões:
V(t) = VR(t) + VL(t)
Sabemos que e .

Passo 9

Substituindo na equação de Kirchhoff:
V(t) = R cdot i(t) + L cdot di(t)dt
Vamos supor novamente uma fonte de degrau para .

Passo 10

A equação fica:
V0 = R cdot i(t) + L cdot di(t)dt
Reorganizando:
di(t)dt + RL i(t) = V0L
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, semelhante à do circuito RC.

Passo 11

A solução da equação homogênea ih(t) = K e^-Rt/L é:
ip(t) = V0R
A solução particular é uma constante:

Passo 12

A solução geral para a corrente é:
i(t) = ih(t) + ip(t) = K e^-Rt/L + V0R
Aplicando a condição inicial 0 = K + V0R implies K = -V0R (corrente zero no instante inicial):
i(t) = V0R (1 - e^-Rt/L)
Portanto:

Resposta

A resposta completa do circuito RC é:
i(t) = V0R e^-t/(RC)
E a resposta completa do circuito RL é:
i(t) = V0R (1 - e^-Rt/L)

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