Demonstre que o módulo de elasticidade volumétrica (E), expresso em função da variação da massa específica, é dado por
E=d pd rhorho

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para demonstrar uma fórmula do módulo de elasticidade volumétrica (E). Basicamente, isso significa que vamos mostrar como o E está relacionado à variação da massa específica (ρ). Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física, como a definição de módulo de elasticidade volumétrica e como a massa específica se relaciona com volume e pressão. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o módulo de elasticidade volumétrica (E). Esse módulo mede a resistência de um material à compressão ou expansão quando submetido a uma variação de pressão. Em outras palavras, ele nos diz o quanto o material “resiste” a mudar de volume quando a pressão muda.
Matematicamente, o módulo de elasticidade volumétrica é definido como:
E = De
Onde:
  • De é a variação de pressão.
  • De é a variação de volume.
  • V é o volume inicial.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a variação de volume ( De) com a variação da massa específica ( De).
A massa específica é definida como:
rho = mV
Onde:
  • rho é a massa específica.
  • m é a massa.
  • V é o volume.
Se a massa ( m) permanece constante, podemos relacionar as variações de volume e massa específica. Rearranjando a fórmula da massa específica:
V = mrho

Passo 4

Vamos derivar a expressão para De em termos de De.
Tomando a derivada de V = mrho em relação a rho:
dV = -mrho^2 drho
Dividindo ambos os lados por V:
dVV = -drhorho
Ou seja:
De

Passo 5

Substituindo essa relação na definição do módulo de elasticidade volumétrica:
E = De
Normalmente, consideramos as variações De e De positivas na compressão, então podemos ignorar o sinal negativo:
E = De

Resposta

Então, demonstramos que o módulo de elasticidade volumétrica (E) está relacionado à variação da massa específica conforme:
E = d pd rhorho

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