Demonstre que o módulo de elasticidade volumétrica (E), expresso em função da variação da massa específica, é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para demonstrar uma fórmula do módulo de elasticidade volumétrica (E). Basicamente, isso significa que vamos mostrar como o E está relacionado à variação da massa específica (ρ). Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de física, como a definição de módulo de elasticidade volumétrica e como a massa específica se relaciona com volume e pressão. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o módulo de elasticidade volumétrica (E). Esse módulo mede a resistência de um material à compressão ou expansão quando submetido a uma variação de pressão. Em outras palavras, ele nos diz o quanto o material “resiste” a mudar de volume quando a pressão muda.
Matematicamente, o módulo de elasticidade volumétrica é definido como:
Onde:
-
é a variação de pressão. -
é a variação de volume. -
é o volume inicial.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a variação de volume (
) com a variação da massa específica (
).
A massa específica é definida como:
Onde:
-
é a massa específica. -
é a massa. -
é o volume.
Se a massa (
) permanece constante, podemos relacionar as variações de volume e massa específica. Rearranjando a fórmula da massa específica:
Passo 4
Vamos derivar a expressão para
em termos de
.
Tomando a derivada de
em relação a
:
Dividindo ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 5
Substituindo essa relação na definição do módulo de elasticidade volumétrica:
Normalmente, consideramos as variações
e
positivas na compressão, então podemos ignorar o sinal negativo:
Resposta
Então, demonstramos que o módulo de elasticidade volumétrica (E) está relacionado à variação da massa específica conforme:
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).
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.
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é
b) Determinar a espessura da camada de água (à