O perfil de velocidade de uma camada líquida escoando sobre uma parede vertical pode ser dada por:
onde:
- espessura da camada líquida;
- velocidade de escoamento à uma distância x da parede (sentido e direção:
).
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é
da velocidade da superfície livre;
b) Determinar a espessura da camada de água (à
), escoando em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros
.
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é
b) Determinar a espessura da camada de água (à
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de fluxo de um líquido sobre uma parede vertical. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente perfis de velocidade e como calcular a velocidade média. Para resolver, vamos usar a equação dada da velocidade em função da posição e depois integrar para achar a velocidade média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da velocidade:
Aqui,
é a velocidade em uma distância
da parede,
é a densidade do líquido,
é a aceleração da gravidade,
é a espessura da camada líquida, e
é a viscosidade do líquido.
Passo 3
Para achar a velocidade média (
), a gente precisa integrar a velocidade
ao longo da espessura
e dividir pelo comprimento total
. Matemáticamente:
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
na integral:
Podemos tirar as constantes para fora da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 6
Voltando à expressão da velocidade média:
Passo 7
Agora, vamos identificar a velocidade na superfície livre (
). Quando
:
Passo 8
Para achar a relação entre a velocidade média e a velocidade na superfície:
Resposta
A velocidade média do líquido é
da velocidade na superfície livre.