O perfil de velocidade de uma camada líquida escoando sobre uma parede vertical pode ser dada por:
vy=[rho g(L x-x^2 / 2)] / mu
onde: L - espessura da camada líquida;
vy - velocidade de escoamento à uma distância x da parede (sentido e direção: g ).
a) Mostrar que a velocidade média do líquido é 2 / 3 da velocidade da superfície livre;
b) Determinar a espessura da camada de água (à 20^circ C ), escoando em uma parede de 1,0 metro de largura com uma taxa de 100,0 litros / min.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de fluxo de um líquido sobre uma parede vertical. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente perfis de velocidade e como calcular a velocidade média. Para resolver, vamos usar a equação dada da velocidade em função da posição e depois integrar para achar a velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da velocidade:
vy = rho g (L x - x^22)mu
Aqui, vy é a velocidade em uma distância x da parede, rho é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade, L é a espessura da camada líquida, e mu é a viscosidade do líquido.

Passo 3

Para achar a velocidade média ( vmédiaé), a gente precisa integrar a velocidade vy ao longo da espessura L e dividir pelo comprimento total L. Matemáticamente:
vmédia = 1L integral0^L vy , dx é

Passo 4

Vamos substituir a expressão de vy na integral:
vmédia = 1L integral0^L rho g (L x - x^22)mu , dx é
Podemos tirar as constantes para fora da integral:
vmédia = rho gmu L integral0^L (L x - x^22) , dx é

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^L (L x - x^22) , dx = integral0^L L x , dx - 12 integral0^L x^2 , dx
Calculando cada parte:
integral0^L L x , dx = L cdot L^22 = L^32
12 integral0^L x^2 , dx = 12 cdot L^33 = L^36
Então:
integral0^L (L x - x^22) , dx = L^32 - L^36 = L^33

Passo 6

Voltando à expressão da velocidade média:
vmédia = rho gmu L cdot L^33 = rho g L^23 mu é

Passo 7

Agora, vamos identificar a velocidade na superfície livre ( vsuperfícieí). Quando x = L:
vsuperfície = rho g (L cdot L - L^22)mu = rho g L^22 mu í

Passo 8

Para achar a relação entre a velocidade média e a velocidade na superfície:
vmédiavsuperfície = rho g L^23 murho g L^22 mu = 23 éí

Resposta

A velocidade média do líquido é 23 da velocidade na superfície livre.

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