Demonstre que o momento angular de uma porta de 80 cm de largura com velocidade angular constante é
, onde M é a massa da porta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente demonstrar que o momento angular de uma porta com 80 cm de largura, que está girando com velocidade angular constante, é dado por $ L = 0,21 M \omega $, onde $ M $ é a massa da porta e $ \omega $ é a velocidade angular. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento angular e momento de inércia da física, que são parte da matéria de Mecânica Rotacional. Precisamos entender como calcular o momento de inércia de uma porta e depois relacionar com a velocidade angular para encontrar o momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é momento angular. É uma grandeza física que descreve a quantidade de movimento de um objeto em rotação. A fórmula geral para o momento angular ($ L $) é:
onde:
- $ I $ é o momento de inércia
- $ \omega $ é a velocidade angular
Então, para encontrar $ L $, precisamos calcular o momento de inércia $ I $ da porta.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre momento de inércia. Ele depende da distribuição de massa em relação ao eixo de rotação. Para uma porta retangular com massa $ M $ e largura $ L $ (no caso, 80 cm ou 0,8 m), que gira em torno de um dos seus lados, o momento de inércia é dado por:
Essa fórmula é específica para um retângulo girando em torno de um dos seus lados.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula do momento de inércia. Sabemos que a largura $ L $ é 0,8 metros:
Então, o momento de inércia da porta é aproximadamente $ 0,213 M $.
Passo 5
Agora que temos $ I $, podemos voltar à fórmula do momento angular:
Arredondando $ 0,213 $ para duas casas decimais, fica $ 0,21 $.
Resposta
Portanto, o momento angular da porta é $ L = 0,21 M \omega $.