Exemplo 15.2.1 (está resolvido no livro) - Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o edifício se inclina em uma direção (para a direita, por exemplo), o bloco se move na mesma direção, mas com certo retardo, de modo que, quando o bloco finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edifício.
Vamos supor que o bloco possui uma massa m=2,72 times 105 kg e que foi projetado para oscilar com uma frequência f=10,0 Hz e com uma amplitude xm=20,0 cm. (a) Qual é a energia mecânica total E do sistema massa-mola?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um prédio alto com um amortecedor de massa pra evitar que ele balance demais por causa do vento. O amortecedor é um bloco pesado preso em uma mola que oscila. A gente precisa calcular a energia mecânica total desse sistema massa-mola. Para isso, vamos precisar saber a massa do bloco , a frequência das oscilações e a amplitude .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total em um sistema massa-mola em oscilação harmônica é dada pela fórmula:
E = 12 k xm^2
onde f = 12pi raizkm é a constante elástica da mola e é a amplitude da oscilação.
Mas, como a gente não tem o valor de , podemos relacionar a frequência com a massa e a constante usando a fórmula da frequência de um sistema massa-mola:
Aí, conseguimos isolar e substituir na fórmula da energia.

Passo 3

Vamos calcular a constante da mola k = (2pi f)^2 m . Primeiro, isolamos k = (2pi times 10,0 , Hz)^2 times 2,72 times 10^5 , kg na fórmula da frequência:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular k = (62,832 , s^-1)^2 times 2,72 times 10^5 , kg = 3947,84 times 2,72 times 10^5 , N/m :
k approx 1,075 times 10^9 , N/m

Passo 5

Vamos converter a amplitude xm = 20,0 , cm = 0,20 , m de centímetros para metros, pois as unidades do SI precisam estar consistentes:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a energia mecânica total E = 12 k xm^2 = 12 times 1,075 times 10^9 , N/m times (0,20 , m)^2 usando a fórmula inicial:
E = 0,5 times 1,075 times 10^9 times 0,04 = 0,5 times 1,075 times 10^9 times 0,04
E approx 2,15 times 10^7 , J

Resposta

A energia mecânica total do sistema massa-mola é aproximadamente .

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