Exemplo 15.2.1 (está resolvido no livro) - Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o edifício se inclina em uma direção (para a direita, por exemplo), o bloco se move na mesma direção, mas com certo retardo, de modo que, quando o bloco finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edifício.
Vamos supor que o bloco possui uma massa
e que foi projetado para oscilar com uma frequência
e com uma amplitude
. (a) Qual é a energia mecânica total
do sistema massa-mola?
Vamos supor que o bloco possui uma massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um prédio alto com um amortecedor de massa pra evitar que ele balance demais por causa do vento. O amortecedor é um bloco pesado preso em uma mola que oscila. A gente precisa calcular a energia mecânica total
desse sistema massa-mola. Para isso, vamos precisar saber a massa do bloco
, a frequência das oscilações
e a amplitude
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total em um sistema massa-mola em oscilação harmônica é dada pela fórmula:
onde
é a constante elástica da mola e
é a amplitude da oscilação.
Mas, como a gente não tem o valor de
, podemos relacionar a frequência
com a massa
e a constante
usando a fórmula da frequência de um sistema massa-mola:
Aí, conseguimos isolar
e substituir na fórmula da energia.
Passo 3
Vamos calcular a constante da mola
. Primeiro, isolamos
na fórmula da frequência:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Vamos converter a amplitude
de centímetros para metros, pois as unidades do SI precisam estar consistentes:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a energia mecânica total
usando a fórmula inicial:
Resposta
A energia mecânica total
do sistema massa-mola é aproximadamente
.