(a)Encontre a energia do estado fundamental (n=1) e dos dois primeiros estados excitados de um próton numa caixa unidimensional de comprimento L=10^-15 m=1 fm.(Estas são as ordens de magnitude de energias nucleares.) Faça um diagrama de níveis de energia para este sistema, e calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a energia do estado fundamental (quando ) e dos dois primeiros estados excitados de um próton dentro de uma caixa unidimensional com comprimento metros, que é a ordem de grandeza das energias nucleares. Depois, precisamos fazer um diagrama dos níveis de energia e calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição entre esses estados. Para resolver isso, vamos usar a teoria da partícula na caixa, que faz parte da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia dos estados de uma partícula em uma caixa unidimensional. A energia quantizada é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2
Aqui:
  • é a energia do estado ,
  • é o número quântico (1, 2, 3,…),
  • é a constante de Planck reduzida ( J·s),
  • é a massa da partícula (no caso, a massa do próton, que é aproximadamente kg),
  • é o comprimento da caixa.

Passo 3

Vamos calcular a energia para os três primeiros estados: En = n^2 pi^2 (1.0545718 times 10^-34)^22 times 1.673 times 10^-27 times (10^-15)^2 , e .
Primeiro, substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Vamos simplificar o cálculo passo a passo.

Passo 4

Calculando o denominador primeiro:
2 times 1.673 times 10^-27 times (10^-15)^2 = 2 times 1.673 times 10^-27 times 10^-30 = 3.346 times 10^-57 , kg·m^2/s^2
Agora, o numerador:
n^2 pi^2 times (1.0545718 times 10^-34)^2 = n^2 times pi^2 times 1.112 times 10^-68 approx n^2 times 3.484 times 10^-68

Passo 5

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar En = n^2 times 3.484 times 10^-683.346 times 10^-57 = n^2 times 3.4843.346 times 10^-11 approx n^2 times 1.040 times 10^-11 , J :

Passo 6

Convertendo a energia de joules para elétron-volts (eV), já que é uma unidade mais comum em física nuclear. Sabemos que En approx n^2 times 1.040 times 10^-111.602 times 10^-19 , eV approx n^2 times 6.49 times 10^7 , eV approx n^2 times 64.9 , MeV .

Passo 7

Agora, aplicamos para cada estado:
  • Para E1 approx 1^2 times 64.9 , MeV = 64.9 , MeV :
E2 approx 2^2 times 64.9 , MeV = 4 times 64.9 , MeV = 259.6 , MeV
  • Para E3 approx 3^2 times 64.9 , MeV = 9 times 64.9 , MeV = 584.1 , MeV :
  • Para :

Passo 8

Agora, vamos fazer um diagrama dos níveis de energia. Imagine uma linha vertical onde colocamos os valores de energia para cada estado:
Energy (MeV)
|
|       E3 = 584.1
|
|       E2 = 259.6
|
|       E1 = 64.9
|
|---------------------------> State (n)
      n=1      n=2      n=3

Passo 9

Para calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton faz uma transição de um estado excitado para um estado inferior, usamos a relação entre a energia da radiação ( De) e o comprimento de onda ( ) dada pela equação de Planck:
Onde:
  • é a constante de Planck ( J·s),
  • é a velocidade da luz ( m/s),
  • é o comprimento de onda que queremos encontrar.

Passo 10

Vamos escolher a transição de De para 194.7 , MeV = 194.7 times 10^6 times 1.602 times 10^-19 , J approx 3.116 times 10^-11 , J . Primeiro, calculamos a diferença de energia:
Convertendo para joules:

Passo 11

Agora, usamos a relação lambda = hcDe para encontrar :

Resposta

A energia do estado fundamental é , dos dois primeiros estados excitados são e . O diagrama de níveis de energia está representado acima, e o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida na transição de para é aproximadamente .

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