(a)Encontre a energia do estado fundamental
e dos dois primeiros estados excitados de um próton numa caixa unidimensional de comprimento
.(Estas são as ordens de magnitude de energias nucleares.) Faça um diagrama de níveis de energia para este sistema, e calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a energia do estado fundamental (quando
) e dos dois primeiros estados excitados de um próton dentro de uma caixa unidimensional com comprimento
metros, que é a ordem de grandeza das energias nucleares. Depois, precisamos fazer um diagrama dos níveis de energia e calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição entre esses estados. Para resolver isso, vamos usar a teoria da partícula na caixa, que faz parte da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia dos estados de uma partícula em uma caixa unidimensional. A energia quantizada é dada por:
Aqui:
-
é a energia do estado , -
é o número quântico (1, 2, 3,…), -
é a constante de Planck reduzida ( J·s), -
é a massa da partícula (no caso, a massa do próton, que é aproximadamente kg), -
é o comprimento da caixa.
Passo 3
Vamos calcular a energia para os três primeiros estados:
,
e
.
Primeiro, substituímos os valores conhecidos na fórmula:
Vamos simplificar o cálculo passo a passo.
Passo 4
Calculando o denominador primeiro:
Agora, o numerador:
Passo 5
Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar
:
Passo 6
Convertendo a energia de joules para elétron-volts (eV), já que é uma unidade mais comum em física nuclear. Sabemos que
.
Passo 7
Agora, aplicamos para cada estado:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Agora, vamos fazer um diagrama dos níveis de energia. Imagine uma linha vertical onde colocamos os valores de energia para cada estado:
Energy (MeV)
|
| E3 = 584.1
|
| E2 = 259.6
|
| E1 = 64.9
|
|---------------------------> State (n)
n=1 n=2 n=3
Passo 9
Para calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton faz uma transição de um estado excitado para um estado inferior, usamos a relação entre a energia da radiação (
) e o comprimento de onda (
) dada pela equação de Planck:
Onde:
-
é a constante de Planck ( J·s), -
é a velocidade da luz ( m/s), -
é o comprimento de onda que queremos encontrar.
Passo 10
Vamos escolher a transição de
para
. Primeiro, calculamos a diferença de energia:
Convertendo para joules:
Passo 11
Agora, usamos a relação
para encontrar
:
Resposta
A energia do estado fundamental é
, dos dois primeiros estados excitados são
e
. O diagrama de níveis de energia está representado acima, e o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida na transição de
para
é aproximadamente
.