A partir da
lei da Termodinâmica e da equação de estado para a pressão de radiação eletromagnética,
, onde
e
são a pressão e a densidade de energia da radiação, respectivamente. Demonstre a lei de Stefan:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! O enunciado nos pede para demonstrar a lei de Stefan, que relaciona a densidade de energia da radiação eletromagnética (
) com a temperatura (
) através da fórmula
, onde
é uma constante. Para isso, vamos usar a
lei da Termodinâmica e a equação de estado da pressão da radiação, que é
. Vamos precisar entender um pouco sobre Termodinâmica e como relacionar energia, pressão e temperatura.
Passo 2
Primeiro, lembremos a
lei da Termodinâmica, que basicamente diz que a variação da energia interna (
) de um sistema é igual ao calor adicionado ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema:
No nosso caso, vamos considerar que estamos lidando com radiação eletromagnética em equilíbrio, então podemos relacionar a energia interna com a densidade de energia
e o volume
do sistema:
Passo 3
Agora, precisamos considerar o trabalho realizado pelo sistema. Para gases ou radiações, o trabalho (
) pode ser expresso em termos de pressão (
) e variação de volume (
):
Como a pressão da radiação é dada por
, podemos substituir na equação do trabalho:
Passo 4
Voltando à
lei da Termodinâmica, temos:
Mas também sabemos que
, então a variação da energia interna é:
Substituindo na equação termodinâmica:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para isolar o termo de calor (
):
Simplificando os termos que envolvem
:
Passo 6
Agora, para um sistema onde a transformação é reversível e adiabática (sem troca de calor), temos
. Então:
Reorganizando:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial que relaciona
e
. Para resolver, vamos integrar ambos os lados.
Passo 8
Integrando:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Vamos reescrever a equação usando propriedades dos logaritmos:
Ou seja:
Passo 10
Denotando
como uma nova constante
, temos:
Agora, precisamos relacionar essa expressão com a temperatura
.
Passo 11
Sabemos que para um gás ideal, há uma relação entre temperatura, volume e outras propriedades termodinâmicas. No caso da radiação, queremos encontrar uma relação direta entre
e
. Através de considerações adicionais da Termodinâmica e da teoria quântica, chega-se à conclusão de que
deve ser proporcional a
:
Onde
é uma constante que depende das propriedades da radiação.
Resposta
Assim, demonstramos que a densidade de energia da radiação eletromagnética está relacionada à temperatura pela lei de Stefan: