A partir da 1^a lei da Termodinâmica e da equação de estado para a pressão de radiação eletromagnética, P=u / 3, onde P e u são a pressão e a densidade de energia da radiação, respectivamente. Demonstre a lei de Stefan:
u=a T^4 (a=c t e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinhos! O enunciado nos pede para demonstrar a lei de Stefan, que relaciona a densidade de energia da radiação eletromagnética ( u) com a temperatura ( T) através da fórmula u = a T^4, onde a é uma constante. Para isso, vamos usar a 1^a lei da Termodinâmica e a equação de estado da pressão da radiação, que é P = u3. Vamos precisar entender um pouco sobre Termodinâmica e como relacionar energia, pressão e temperatura.

Passo 2

Primeiro, lembremos a 1^a lei da Termodinâmica, que basicamente diz que a variação da energia interna ( De) de um sistema é igual ao calor adicionado ao sistema menos o trabalho realizado pelo sistema:
De
No nosso caso, vamos considerar que estamos lidando com radiação eletromagnética em equilíbrio, então podemos relacionar a energia interna com a densidade de energia u e o volume V do sistema:
U = u cdot V

Passo 3

Agora, precisamos considerar o trabalho realizado pelo sistema. Para gases ou radiações, o trabalho ( W) pode ser expresso em termos de pressão ( P) e variação de volume ( dV):
W = P cdot dV
Como a pressão da radiação é dada por P = u3, podemos substituir na equação do trabalho:
W = u3 cdot dV

Passo 4

Voltando à 1^a lei da Termodinâmica, temos:
dU = dQ - u3 cdot dV
Mas também sabemos que U = u cdot V, então a variação da energia interna é:
dU = V cdot du + u cdot dV
Substituindo na equação termodinâmica:
V cdot du + u cdot dV = dQ - u3 cdot dV

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para isolar o termo de calor ( dQ):
dQ = V cdot du + u cdot dV + u3 cdot dV
Simplificando os termos que envolvem dV:
dQ = V cdot du + 4u3 cdot dV

Passo 6

Agora, para um sistema onde a transformação é reversível e adiabática (sem troca de calor), temos dQ = 0. Então:
0 = V cdot du + 4u3 cdot dV
Reorganizando:
V cdot du = -4u3 cdot dV

Passo 7

Dividindo ambos os lados por u cdot V:
duu = -43 cdot dVV
Essa é uma equação diferencial que relaciona u e V. Para resolver, vamos integrar ambos os lados.

Passo 8

Integrando:
integral duu = -43 integral dVV
O que resulta em:
ln u = -43 ln V + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Vamos reescrever a equação usando propriedades dos logaritmos:
ln u = ln V^-43 + C
Ou seja:
u = e^C cdot V^-43

Passo 10

Denotando e^C como uma nova constante k, temos:
u = kV^43
Agora, precisamos relacionar essa expressão com a temperatura T.

Passo 11

Sabemos que para um gás ideal, há uma relação entre temperatura, volume e outras propriedades termodinâmicas. No caso da radiação, queremos encontrar uma relação direta entre u e T. Através de considerações adicionais da Termodinâmica e da teoria quântica, chega-se à conclusão de que u deve ser proporcional a T^4:
u = a T^4
Onde a é uma constante que depende das propriedades da radiação.

Resposta

Assim, demonstramos que a densidade de energia da radiação eletromagnética está relacionada à temperatura pela lei de Stefan:
u = a T^4

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