Demonstre que, se v e w são vetores quaisquer, então:
(a) lang<=v, wrang<==14(|v+w|^2-|v-w|^2);
(b) |v|^2+|w|^2=12(|v+w|^2+|v-w|^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas igualdades envolvendo vetores v e w. Isso envolve conceitos de produto interno (ou ponto) e normas de vetores. Para resolver, a gente vai usar as definições de produto interno e norma, e propriedades básicas desses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores v e w é denotado por lang<= v, w rang<=. E a norma de um vetor v, que é o “tamanho” do vetor, é dada por |v| = raizlang<= v, v rang<=.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a) do exercício:
lang<= v, w rang<= = 14(|v + w|^2 - |v - w|^2)

Passo 4

Primeiro, vamos expandir as normas ao quadrado:
|v + w|^2 = lang<= v + w, v + w rang<= = |v|^2 + 2lang<= v, w rang<= + |w|^2
|v - w|^2 = lang<= v - w, v - w rang<= = |v|^2 - 2lang<= v, w rang<= + |w|^2

Passo 5

Agora, vamos subtrair essas duas expressões:
|v + w|^2 - |v - w|^2 = (|v|^2 + 2lang<= v, w rang<= + |w|^2) - (|v|^2 - 2lang<= v, w rang<= + |w|^2)

Passo 6

Simplificando, vemos que os termos |v|^2 e |w|^2 se cancelam:
|v + w|^2 - |v - w|^2 = 4lang<= v, w rang<=

Passo 7

Agora, isolamos o produto interno:
lang<= v, w rang<= = 14(|v + w|^2 - |v - w|^2)

Passo 8

Pronto, isso prova a parte (a)!

Passo 9

Vamos para a parte (b) do exercício:
|v|^2 + |w|^2 = 12(|v + w|^2 + |v - w|^2)

Passo 10

Usando as expansões que fizemos antes:
|v + w|^2 + |v - w|^2 = (|v|^2 + 2lang<= v, w rang<= + |w|^2) + (|v|^2 - 2lang<= v, w rang<= + |w|^2)

Passo 11

Aqui, os termos com o produto interno se cancelam:
|v + w|^2 + |v - w|^2 = 2|v|^2 + 2|w|^2

Passo 12

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
|v|^2 + |w|^2 = 12(|v + w|^2 + |v - w|^2)

Resposta

As igualdades (a) e (b) foram demonstradas conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Determine a área do paralelogramo A B C D sendo A C=-i+j e A B=j+3 k.
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(a) |u+v|=|u-v|
(b) |u+v|>|u-v|
© |u+v|<|u-v|.
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