Demonstre que, se e são vetores quaisquer, então:
(a) ;
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas igualdades envolvendo vetores e . Isso envolve conceitos de produto interno (ou ponto) e normas de vetores. Para resolver, a gente vai usar as definições de produto interno e norma, e propriedades básicas desses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores e é denotado por . E a norma de um vetor , que é o “tamanho” do vetor, é dada por .
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício:
Passo 4
Primeiro, vamos expandir as normas ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos subtrair essas duas expressões:
Passo 6
Simplificando, vemos que os termos e se cancelam:
Passo 7
Agora, isolamos o produto interno:
Passo 8
Pronto, isso prova a parte (a)!
Passo 9
Vamos para a parte (b) do exercício:
Passo 10
Usando as expansões que fizemos antes:
Passo 11
Aqui, os termos com o produto interno se cancelam:
Passo 12
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
Resposta
As igualdades (a) e (b) foram demonstradas conforme solicitado.