Determine a área do paralelogramo A B C D sendo A C=-i+j e A B=j+3 k.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de geometria vetorial para encontrar a área de um paralelogramo chamado ABCD. A gente tem dois vetores: A C=-i+j e A B=j+3 k. Para achar a área, vamos precisar usar o cálculo do produto vetorial entre dois vetores que definem os lados do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo pode ser encontrada calculando o produto vetorial dos vetores que formam seus lados e depois pegando o módulo desse produto. A fórmula é:
Área = |u times v| Á
onde u e v são os vetores dos lados.

Passo 3

No nosso caso, temos A B = j + 3k. Mas também temos A C = -i + j, que é uma diagonal do paralelogramo. Para encontrar o outro lado, vamos usar a propriedade de que a diagonal é igual à soma dos dois lados adjacentes. Ou seja:
A C = A B + A D
Então, isolando A D:
A D = A C - A B = (-i + j) - (j + 3k) = -i - 3k

Passo 4

Agora temos os dois vetores que formam os lados do paralelogramo:
A B = j + 3k
A D = -i - 3k
Vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 5

O produto vetorial de dois vetores u = uxi + uyj + uzk e v = vxi + vyj + vzk é dado por:
u times v = i & j & k ux & uy & uz vx & vy & vz
Aplicando isso aos nossos vetores:
A B times A D = i & j & k 0 & 1 & 3 -1 & 0 & -3

Passo 6

Calculando o determinante:
A B times A D = i(1 cdot (-3) - 3 cdot 0) - j(0 cdot (-3) - 3 cdot (-1)) + k(0 cdot 0 - 1 cdot (-1))
Simplificando:
= i(-3) - j(0 + 3) + k(0 + 1)
= -3i - 3j + k

Passo 7

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante para obter a área:
|A B times A D| = raiz(-3)^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz9 + 9 + 1 = raiz19

Resposta

A área do paralelogramo ABCD é raiz19 unidades de área.

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