Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir quais condições os vetores e devem satisfazer para que as normas de e se relacionem de três maneiras diferentes: iguais, uma maior que a outra ou menor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente as propriedades das normas e produtos escalares.
Passo 2
Vamos começar analisando a parte (a): . Para comparar as normas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado, já que isso simplifica a expressão sem alterar a relação de igualdade.
Passo 3
Aplicando a fórmula da norma ao quadrado:
Igualando as duas expressões:
Passo 4
Simplificando a equação acima, cancelamos e dos dois lados:
Somando em ambos os lados:
Portanto:
Passo 5
A condição significa que os vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): . Novamente, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Utilizando a mesma fórmula da norma ao quadrado:
Simplificando:
Somando aos dois lados:
Portanto:
Passo 8
A condição indica que o ângulo entre os vetores é menor que 90 graus, ou seja, eles estão apontando mais na mesma direção.