Que condições devem satisfazer os vetores u e v para que sejam válidas as seguintes relações:
(a) |u+v|=|u-v|
(b) |u+v|>|u-v|
© |u+v|<|u-v|.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir quais condições os vetores u e v devem satisfazer para que as normas de u + v e u - v se relacionem de três maneiras diferentes: iguais, uma maior que a outra ou menor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente as propriedades das normas e produtos escalares.

Passo 2

Vamos começar analisando a parte (a): |u+v| = |u-v|. Para comparar as normas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado, já que isso simplifica a expressão sem alterar a relação de igualdade.

Passo 3

Aplicando a fórmula da norma ao quadrado:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2ucdotv + |v|^2
|u - v|^2 = |u|^2 - 2ucdotv + |v|^2
Igualando as duas expressões:
|u|^2 + 2ucdotv + |v|^2 = |u|^2 - 2ucdotv + |v|^2

Passo 4

Simplificando a equação acima, cancelamos |u|^2 e |v|^2 dos dois lados:
2ucdotv = -2ucdotv
Somando 2ucdotv em ambos os lados:
4ucdotv = 0
Portanto:
ucdotv = 0

Passo 5

A condição ucdotv = 0 significa que os vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): |u+v| > |u-v|. Novamente, elevamos ambos os lados ao quadrado:
|u + v|^2 > |u - v|^2

Passo 7

Utilizando a mesma fórmula da norma ao quadrado:
|u|^2 + 2ucdotv + |v|^2 > |u|^2 - 2ucdotv + |v|^2
Simplificando:
2ucdotv > -2ucdotv
Somando 2ucdotv aos dois lados:
4ucdotv > 0
Portanto:
ucdotv > 0

Passo 8

A condição ucdotv > 0 indica que o ângulo entre os vetores é menor que 90 graus, ou seja, eles estão apontando mais na mesma direção.

Passo 9

Por último, vamos para a parte ©: |u+v| < |u-v|. Elevando ao quadrado:
|u + v|^2 < |u - v|^2

Passo 10

Aplicando a fórmula da norma ao quadrado:
|u|^2 + 2ucdotv + |v|^2 < |u|^2 - 2ucdotv + |v|^2
Simplificando:
2ucdotv < -2ucdotv
Somando 2ucdotv aos dois lados:
4ucdotv < 0
Portanto:
ucdotv < 0

Resposta

(a) Os vetores u e v devem ser ortogonais (isto é, u cdot v = 0).
(b) O produto escalar dos vetores deve ser positivo (ou seja, u cdot v > 0).
© O produto escalar dos vetores deve ser negativo (ou seja, u cdot v < 0).

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(a) lang<=v, wrang<==14(|v+w|^2-|v-w|^2);
(b) |v|^2+|w|^2=12(|v+w|^2+|v-w|^2).