Que condições devem satisfazer os vetores
e
para que sejam válidas as seguintes relações:
(a)
(b)
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir quais condições os vetores
e
devem satisfazer para que as normas de
e
se relacionem de três maneiras diferentes: iguais, uma maior que a outra ou menor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente as propriedades das normas e produtos escalares.
Passo 2
Vamos começar analisando a parte (a):
. Para comparar as normas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado, já que isso simplifica a expressão sem alterar a relação de igualdade.
Passo 3
Aplicando a fórmula da norma ao quadrado:
Igualando as duas expressões:
Passo 4
Simplificando a equação acima, cancelamos
e
dos dois lados:
Somando
em ambos os lados:
Portanto:
Passo 5
A condição
significa que os vetores são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b):
. Novamente, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Utilizando a mesma fórmula da norma ao quadrado:
Simplificando:
Somando
aos dois lados:
Portanto:
Passo 8
A condição
indica que o ângulo entre os vetores é menor que 90 graus, ou seja, eles estão apontando mais na mesma direção.
Passo 9
Por último, vamos para a parte ©:
. Elevando ao quadrado:
Passo 10
Aplicando a fórmula da norma ao quadrado:
Simplificando:
Somando
aos dois lados:
Portanto:
Resposta
(a) Os vetores
e
devem ser ortogonais (isto é,
).
(b) O produto escalar dos vetores deve ser positivo (ou seja,
).
© O produto escalar dos vetores deve ser negativo (ou seja,
).