Demonstre as seguinte propriedades do módulo: Dado x >= 0, temos que |x| <= c <=> -c <= x <= c

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar uma propriedade do módulo (ou valor absoluto) que relaciona com , dado que . Para isso, vamos usar as definições básicas do valor absoluto e manipular as desigualdades envolvidas.

Passo 2

Sabemos que o valor absoluto de , representado por , é definido da seguinte forma:
Como na nossa condição , podemos simplificar para apenas . Portanto, a inequação se torna:

Passo 3

Agora, queremos relacionar isso com a inequação . Sabemos que , então a parte negativa da desigualdade, , sempre será verdadeira, pois é positivo e é negativo (considerando que ). Portanto, a desigualdade completa se simplifica para:

Passo 4

Comparando as duas inequações que obtivemos:
  1. se tornou .
  2. se tornou .
Observamos que ambas as inequações impõem que não ultrapasse e que seja não negativo, o que confirma a equivalência entre elas.

Resposta

Assim, demonstramos que, quando , a condição é equivalente a .

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