Demonstre as seguinte propriedades do módulo: Dado
, temos que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar uma propriedade do módulo (ou valor absoluto) que relaciona
com
, dado que
. Para isso, vamos usar as definições básicas do valor absoluto e manipular as desigualdades envolvidas.
Passo 2
Sabemos que o valor absoluto de
, representado por
, é definido da seguinte forma:
Como na nossa condição
, podemos simplificar
para apenas
. Portanto, a inequação
se torna:
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso com a inequação
. Sabemos que
, então a parte negativa da desigualdade,
, sempre será verdadeira, pois
é positivo e
é negativo (considerando que
). Portanto, a desigualdade completa
se simplifica para:
Passo 4
Comparando as duas inequações que obtivemos:
-
se tornou . -
se tornou .
Observamos que ambas as inequações impõem que
não ultrapasse
e que
seja não negativo, o que confirma a equivalência entre elas.
Resposta
Assim, demonstramos que, quando
, a condição
é equivalente a
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(a) Res:
.
(b) . Res:
.
© Res:
.
(d) Res:
.
(a)
(b)
©
(d)
Demonstre as seguinte propriedades do módulo:
Demonstre as seguinte propriedades do módulo:
Demonstre as seguinte propriedades do módulo: