Demonstre as seguinte propriedades do módulo:

Passo 1

Vamos lá! A gente quer mostrar que, para qualquer número real , a equação é verdadeira se e somente se . Isso envolve entender o que é o módulo (ou valor absoluto) de um número.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O módulo de , representado por , é a distância de até zero na reta numérica, e essa distância é sempre um número não negativo. Então, se , isso quer dizer que está a uma distância de zero. Mas um número pode estar a essa distância tanto para a direita quanto para a esquerda do zero. Por isso, pode ser igual a ou a . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos fazer o caminho contrário: se , então . Vamos verificar:
  • Se :
  • Se :
Em ambos os casos, o valor absoluto de é igual a .

Resposta

Assim, demonstramos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das equações diferenciais:
(a) . Res: .
(b) . Res: .
© Res: .
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Encontre a solução geral da equação diferencial dada:
(a) Res: .
(b) . Res: .
© Res: .
(d) Res: .
Demonstre as seguinte propriedades do módulo: Dado , temos que