Demonstre as seguinte propriedades do módulo: |x^2| = x^2 = |x|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar algumas propriedades do módulo (ou valor absoluto) aplicadas a expressões com . Basicamente, queremos mostrar que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o módulo e como ele se comporta com potências e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o módulo de um número. O módulo de , representado por , é sempre o valor não negativo de . Ou seja, é igual a se for positivo ou zero, e igual a se for negativo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Quando elevamos um número ao quadrado, o resultado sempre é não negativo, porque qualquer número multiplicado por ele mesmo dá um resultado positivo ou zero. Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
Portanto, para qualquer valor de .

Passo 4

Com isso em mente, vamos ver o que significa . Como já sabemos que é sempre não negativo, o módulo de é simplesmente mesmo. Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos analisar . Primeiro, calculamos , que é sempre não negativo. Em seguida, elevamos esse valor ao quadrado. Já que é não negativo, será igual a , porque:

Passo 6

Por fim, juntando tudo, temos que:
Isso mostra que as três expressões são iguais para qualquer valor de .

Resposta

Portanto, demonstramos que é válido para qualquer número real .

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