Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Comparando, identificamos que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora pode ser reescrito como a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E o gráfico dessa função será uma exponencial multiplicada por um polinômio de segundo grau, ajustado pela constante
.
Exercícios relacionados
Empregando
e
determine o tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de
.
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Encontre a solução geral das equações diferenciais:
(a) . Res:
.
(b) . Res:
.
© Res:
.
(a)
(b)
©
Demonstre as seguinte propriedades do módulo: