Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos a equação diferencial . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos:
Comparando, identificamos que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora pode ser reescrito como a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
E o gráfico dessa função será uma exponencial multiplicada por um polinômio de segundo grau, ajustado pela constante .

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Empregando e determine o tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de .
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial e elabore um gráfico da função resposta obtida:
Encontre a solução geral das equações diferenciais:
(a) . Res: .
(b) . Res: .
© Res: .
Demonstre as seguinte propriedades do módulo: