Encontre a solução geral das equações diferenciais:
(a) y'' + 2y' - 3y = 0. Res: y = C1 * e^(t) + C2 * e^(-3 * t).
(b) 2 y'' - 3 y' + y = 0. Res: y = C1 e^(t / 2) + C2 e^(t).
© 4 y'' - 9 y = 0 Res: y = C1 * e^(3 * t / 2) + C2 * e^(-3 * t / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e precisa encontrar a solução geral de cada uma. Para resolver isso, vamos usar o método da equação característica. Vamos precisar lembrar como formar e resolver essa equação para encontrar as raízes que nos darão a solução.

Passo 2

Parte (a):
Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):
Como , temos duas raízes reais e distintas:
Com as raízes encontradas, a solução geral é:

Passo 3

Parte (b):
Montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática com Bhaskara:
Então, as raízes são:
A solução geral fica:

Passo 4

Parte ©:
Aqui, a equação característica é:
Resolvendo para :
As raízes são reais e distintas:
Assim, a solução geral é:

Resposta

(a) .
(b) .
© .

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