Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e vamos usar algumas das identidades básicas de tangente e secante. Precisaremos lembrar das fórmulas para a tangent duplo e algumas relações entre as funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tangente de um ângulo duplo, , pode ser expressa em termos de . A fórmula é:
Vamos substituir essa expressão na identidade que queremos demonstrar.

Passo 3

Substituindo na identidade:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos em um único denominador:

Passo 5

Lembrando que a identidade fundamental da trigonometria é:
Substituindo isso na expressão:

Passo 6

Sabemos também que:
Portanto, a expressão fica:

Resposta

Então, demonstramos que .

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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(h)
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(k)