Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que é igual a . Vamos usar trigonometria básica, especialmente as fórmulas de adição para a tangente e as identidades envolvendo seno e cosseno. Precisamos saber como expandir essas funções e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de adição para a tangente e cotangente:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Vamos calcular usando a fórmula de adição:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Sabemos que e usamos a fórmula de adição para a cotangente:
Como , temos:

Passo 5

Agora, multiplicamos as duas expressões que calculamos:
Lembrando que , substituímos:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda fração:
Então, agora temos:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão usando a identidade :
Para facilitar, vamos multiplicar numerador e denominador por :
Sabemos que e , então:

Passo 8

Agora, usamos a identidade ou, mais útil aqui, a identidade da tangente dupla:
Portanto, mostramos que:

Resposta

A identidade foi demonstrada com sucesso:

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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(j)
Resolva as seguintes equações trigonométricas:
(f)