Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(k) tg(pi4+x) cotg(pi4-x)=1+sen(2 x)1-sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que tan(pi4+x) cot(pi4-x) é igual a 1+sin(2x)1-sin(2x). Vamos usar trigonometria básica, especialmente as fórmulas de adição para a tangente e as identidades envolvendo seno e cosseno. Precisamos saber como expandir essas funções e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de adição para a tangente e cotangente:
tan(a + b) = tan a + tan b1 - tan a tan b
cot(a - b) = cot a cot b + 1cot b - cot a
No nosso caso, temos:
a = pi4 e b = x

Passo 3

Vamos calcular tan(pi4 + x) usando a fórmula de adição:
tan(pi4 + x) = tanpi4 + tan x1 - tanpi4 tan x
Sabemos que tanpi4 = 1, então substituindo:
tan(pi4 + x) = 1 + tan x1 - tan x

Passo 4

Agora, vamos calcular cot(pi4 - x). Sabemos que cot theta = 1tan theta e usamos a fórmula de adição para a cotangente:
cot(pi4 - x) = cotpi4 cot x + 1cot x - cotpi4
Como cotpi4 = 1, temos:
cot(pi4 - x) = 1 cdot cot x + 1cot x - 1 = cot x + 1cot x - 1

Passo 5

Agora, multiplicamos as duas expressões que calculamos:
tan(pi4 + x) cot(pi4 - x) = (1 + tan x1 - tan x) (cot x + 1cot x - 1)
Lembrando que cot x = 1tan x, substituímos:
= (1 + tan x1 - tan x) (1tan x + 11tan x - 1)

Passo 6

Vamos simplificar a segunda fração:
1tan x + 11tan x - 1 = 1 + tan xtan x1 - tan xtan x = 1 + tan x1 - tan x
Então, agora temos:
(1 + tan x1 - tan x) (1 + tan x1 - tan x) = (1 + tan x1 - tan x)^2

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão usando a identidade tan x = sin xcos x:
(1 + sin xcos x1 - sin xcos x)^2 = (cos x + sin xcos x - sin x)^2
Para facilitar, vamos multiplicar numerador e denominador por cos x + sin x:
= ((cos x + sin x)^2cos^2 x - sin^2 x)
Sabemos que cos^2 x - sin^2 x = cos(2x) e (cos x + sin x)^2 = 1 + 2sin x cos x = 1 + sin(2x), então:
= 1 + sin(2x)cos(2x)

Passo 8

Agora, usamos a identidade cos(2x) = 1 - 2sin^2 x ou, mais útil aqui, a identidade da tangente dupla:
1 + sin(2x)1 - sin(2x)
Portanto, mostramos que:
tan(pi4 + x) cot(pi4 - x) = 1 + sin(2x)1 - sin(2x)

Resposta

A identidade foi demonstrada com sucesso:
tan(pi4+x) cot(pi4-x)=1+sin(2x)1-sin(2x)

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