Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que
é igual a
. Vamos usar trigonometria básica, especialmente as fórmulas de adição para a tangente e as identidades envolvendo seno e cosseno. Precisamos saber como expandir essas funções e simplificar a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de adição para a tangente e cotangente:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Vamos calcular
usando a fórmula de adição:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
e usamos a fórmula de adição para a cotangente:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, multiplicamos as duas expressões que calculamos:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda fração:
Então, agora temos:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão usando a identidade
:
Para facilitar, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 8
Agora, usamos a identidade
ou, mais útil aqui, a identidade da tangente dupla:
Portanto, mostramos que:
Resposta
A identidade foi demonstrada com sucesso:
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(j)
(j)
Resolva as seguintes equações trigonométricas:
(f)
(f)