Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: sin (pi2-theta)=cos theta

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que demonstrar a identidade trigonométrica . Isso faz parte da matéria de trigonometria, especificamente das identidades trigonométricas fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar usar o co-ângulo na trigonometria e entender como o seno e o cosseno estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o co-ângulo se refere a um ângulo que, somado a outro, resulta em radianos (ou 90 graus). No nosso caso, é o co-ângulo de .

Passo 3

Sabemos que existe uma relação entre o seno de um ângulo e o cosseno do seu co-ângulo. Especificamente, a fórmula é:
sin(pi2 - theta) = cos theta
Essa é uma das identidades trigonométricas complementares.

Passo 4

Para demonstrar a identidade, podemos usar o gráfico das funções seno e cosseno ou os fórmulas de adição de ângulos. Vamos usar a segunda abordagem.

Passo 5

As fórmulas de adição de ângulos nos dizem que:
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
No nosso caso, e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
sin(pi2 - theta) = sin(pi2) cos theta - cos(pi2) sin theta

Passo 7

Agora, sabemos que:
sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0
Substituindo esses valores:
sin(pi2 - theta) = (1) cos theta - (0) sin theta

Passo 8

Simplificando a expressão:
sin(pi2 - theta) = cos theta
E assim, demonstramos a identidade desejada.

Resposta

sin(pi2 - theta) = cos theta

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