Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que demonstrar a identidade trigonométrica
. Isso faz parte da matéria de trigonometria, especificamente das identidades trigonométricas fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar usar o co-ângulo na trigonometria e entender como o seno e o cosseno estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o co-ângulo se refere a um ângulo que, somado a outro, resulta em
radianos (ou 90 graus). No nosso caso,
é o co-ângulo de
.
Passo 3
Sabemos que existe uma relação entre o seno de um ângulo e o cosseno do seu co-ângulo. Especificamente, a fórmula é:
Essa é uma das identidades trigonométricas complementares.
Passo 4
Para demonstrar a identidade, podemos usar o gráfico das funções seno e cosseno ou os fórmulas de adição de ângulos. Vamos usar a segunda abordagem.
Passo 5
As fórmulas de adição de ângulos nos dizem que:
No nosso caso,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora, sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 8
Simplificando a expressão:
E assim, demonstramos a identidade desejada.
Resposta
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo
é orientado verticalmente
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
onde
é a frequência angular de oscilação;