Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar uma igualdade que envolve números complexos:
. Vamos trabalhar com números complexos e entender como funciona o conjugado de um número complexo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária que satisfaz
.
Passo 3
O conjugado de um número complexo é denotado por
e é definido como
. Basicamente, ele inverte o sinal da parte imaginária do número complexo.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar o conjugado de
, ou seja,
. Usando o resultado do Passo 4:
Aplicando a definição do conjugado:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Primeiro, encontramos
:
Multiplicando por
:
Novamente, usando
:
Resposta
Concluímos que
, pois ambos os lados resultam em
.
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Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo
é orientado verticalmente
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
onde
é a frequência angular de oscilação;