Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: (imath z)^*=-imath z^* ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar uma igualdade que envolve números complexos: . Vamos trabalhar com números complexos e entender como funciona o conjugado de um número complexo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária que satisfaz .

Passo 3

O conjugado de um número complexo é denotado por e é definido como . Basicamente, ele inverte o sinal da parte imaginária do número complexo.

Passo 4

Agora, vamos calcular imath z = imath (a + bimath) = aimath + bimath^2 . Substituindo imath z = aimath - b :
Sabemos que , então:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar o conjugado de (imath z)^* = (aimath - b)^* , ou seja, (imath z)^* = -aimath - b . Usando o resultado do Passo 4:
Aplicando a definição do conjugado:

Passo 6

Agora, vamos calcular z^* = a - bimath . Primeiro, encontramos -imath z^* = -imath (a - bimath) = -aimath + bimath^2 :
-imath z^* = -aimath - b
Multiplicando por :
Novamente, usando :

Resposta

Concluímos que , pois ambos os lados resultam em .

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