Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo
é orientado verticalmente
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
onde
é a frequência angular de oscilação;
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa
presa a uma mola com constante elástica
e comprimento relaxado
. A mola está pendurada no teto, e vamos analisar o movimento dessa partícula no eixo vertical
. Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton e a Lei de Hooke da mola. Precisamos considerar as forças atuando na partícula e como elas influenciam o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na partícula. Temos duas principais:
-
Força da mola (
): Segundo a Lei de Hooke, essa força é proporcional ao deslocamento da mola em relação ao seu comprimento relaxado. Então, . O sinal negativo indica que a força da mola atua na direção oposta ao deslocamento. -
Força da gravidade (
): Essa é a força peso da partícula, que puxa para baixo e é calculada por , onde é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração (
). Aqui, a aceleração
é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo, ou seja,
.
Então, temos:
Passo 4
Vamos somar as forças que atuam na partícula. Como a força da mola está direcionada para cima (oposta ao deslocamento) e a força da gravidade para baixo, a soma das forças fica:
Substituindo na Segunda Lei de Newton:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com
. Dividindo tudo por
:
Agora, definimos a frequência angular
como
. Substituindo na equação:
Resposta
A equação diferencial que descreve o movimento da partícula é:
onde
é a frequência angular de oscilação.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;