Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l0, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo O z é orientado verticalmente
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
ddotz+omega^2 z=omega^2 l0+g
onde omega=raizkm é a frequência angular de oscilação;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa presa a uma mola com constante elástica e comprimento relaxado . A mola está pendurada no teto, e vamos analisar o movimento dessa partícula no eixo vertical . Para resolver isso, vamos usar as leis de Newton e a Lei de Hooke da mola. Precisamos considerar as forças atuando na partícula e como elas influenciam o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na partícula. Temos duas principais:
  1. Força da mola ( ): Segundo a Lei de Hooke, essa força é proporcional ao deslocamento da mola em relação ao seu comprimento relaxado. Então, . O sinal negativo indica que a força da mola atua na direção oposta ao deslocamento.
  2. Força da gravidade ( ): Essa é a força peso da partícula, que puxa para baixo e é calculada por , onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração ( Ftotal = m cdot ddotz ). Aqui, a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, .
Então, temos:

Passo 4

Vamos somar as forças que atuam na partícula. Como a força da mola está direcionada para cima (oposta ao deslocamento) e a força da gravidade para baixo, a soma das forças fica:
Ftotal = -k(z - l0) + m cdot g
Substituindo na Segunda Lei de Newton:
-k(z - l0) + m cdot g = m cdot ddotz

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com ddotz + km z = km l0 + g . Dividindo tudo por ddotz + omega^2 z = omega^2 l0 + g :
Agora, definimos a frequência angular como . Substituindo na equação:

Resposta

A equação diferencial que descreve o movimento da partícula é:
ddotz + omega^2 z = omega^2 l0 + g
onde é a frequência angular de oscilação.

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: sin (pi2-theta)=cos theta
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: (imath z)^*=-imath z^* ;
integral0^1 integralarctg x^pi / 4 f(x, y) d y d x
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: (1-imath)^4=-4;