Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: (1-imath)^4=-4;

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que mostrar que . Vamos usar o conteúdo de números complexos, especialmente a multiplicação de complexos e potências. Para isso, vamos precisar lembrar como multiplicar números complexos e como elevar um número complexo a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Aqui, é a unidade imaginária, que satisfaz . Então, é um número complexo com parte real igual a 1 e parte imaginária igual a -1.

Passo 3

Agora, queremos elevar à quarta potência, ou seja, . Para facilitar, vamos calcular passo a passo, multiplicando por ele mesmo quatro vezes.

Passo 4

Vamos começar calculando (1 - imath)^2 = (1 - imath)(1 - imath) = 1 cdot 1 + 1 cdot (-imath) + (-imath) cdot 1 + (-imath) cdot (-imath) :
= 1 - imath - imath + imath^2
= 1 - 2imath - 1 = -2imath
Sabemos que , então:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado novamente para obter (-2imath)^2 = (-2imath) cdot (-2imath) = (-2)(-2) cdot imath cdot imath = 4 cdot imath^2 :
4 cdot (-1) = -4
Como :
Portanto, .

Resposta

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