Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que mostrar que
. Vamos usar o conteúdo de números complexos, especialmente a multiplicação de complexos e potências. Para isso, vamos precisar lembrar como multiplicar números complexos e como elevar um número complexo a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Aqui,
é a unidade imaginária, que satisfaz
. Então,
é um número complexo com parte real igual a 1 e parte imaginária igual a -1.
Passo 3
Agora, queremos elevar
à quarta potência, ou seja,
. Para facilitar, vamos calcular passo a passo, multiplicando
por ele mesmo quatro vezes.
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Sabemos que
, então:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos elevar ao quadrado novamente para obter
:
Como
:
Portanto,
.
Resposta
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
está suspensa do teto por uma mola de constante elástica
, comprimento relaxado
, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo
é orientado verticalmente
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
onde
é a frequência angular de oscilação;
Sabendo que a média temporal do valor
num intervalo
é dada por
calcule o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico em um período de oscilação. Sugestão: Utilize as expressões
e
para o cálculo das integrais.
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
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