Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;
Passo 1
Beleza! Então, a gente tem que mostrar que
. Vamos usar o conteúdo de números complexos, especialmente a multiplicação de complexos e potências. Para isso, vamos precisar lembrar como multiplicar números complexos e como elevar um número complexo a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Aqui,
é a unidade imaginária, que satisfaz
. Então,
é um número complexo com parte real igual a 1 e parte imaginária igual a -1.
Passo 3
Agora, queremos elevar
à quarta potência, ou seja,
. Para facilitar, vamos calcular passo a passo, multiplicando
por ele mesmo quatro vezes.
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Sabemos que
, então:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos elevar ao quadrado novamente para obter
:
Como
:
Portanto,
.