Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: (1-imath)^4=-4;

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que mostrar que . Vamos usar o conteúdo de números complexos, especialmente a multiplicação de complexos e potências. Para isso, vamos precisar lembrar como multiplicar números complexos e como elevar um número complexo a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Aqui, é a unidade imaginária, que satisfaz . Então, é um número complexo com parte real igual a 1 e parte imaginária igual a -1.

Passo 3

Agora, queremos elevar à quarta potência, ou seja, . Para facilitar, vamos calcular passo a passo, multiplicando por ele mesmo quatro vezes.

Passo 4

Vamos começar calculando (1 - imath)^2 = (1 - imath)(1 - imath) = 1 cdot 1 + 1 cdot (-imath) + (-imath) cdot 1 + (-imath) cdot (-imath) :
= 1 - imath - imath + imath^2
= 1 - 2imath - 1 = -2imath
Sabemos que , então:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos elevar ao quadrado novamente para obter (-2imath)^2 = (-2imath) cdot (-2imath) = (-2)(-2) cdot imath cdot imath = 4 cdot imath^2 :
4 cdot (-1) = -4
Como :
Portanto, .

Resposta

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Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l0, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesianas cujo eixo O z é orientado verticalmente
para baixo, e com origem O no teto. Obtenha: Mostre que a equação diferencial que descreve o movimento da partícula é dada por
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onde omega=raizkm é a frequência angular de oscilação;
Sabendo que a média temporal do valor f(t) num intervalo 0 <= t <= tau é dada por
barf=1tau integral0^tau f(t) d t
calcule o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico em um período de oscilação. Sugestão: Utilize as expressões sin ^2 x=1-cos 2 x2 e cos ^2 x=1+cos 2 x2 para o cálculo das integrais.
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