Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que a expressão
é igual a
. Vamos usar conhecimentos de números complexos, como a multiplicação de números complexos e a simplificação de expressões fracionárias envolvendo o número imaginário
(onde
).
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os fatores do denominador
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Vamos multiplicar os dois primeiros fatores:
. Usando a propriedade distributiva:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos o resultado
pelo terceiro fator
:
Simplificando:
Novamente, usando
:
Passo 5
Agora que temos o denominador simplificado, a expressão original fica:
Podemos simplificar essa fração dividindo 5 por -10:
Passo 6
Para resolver
, lembramos que
. Então:
Resposta
Portanto, demonstramos que:
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Sabendo que a média temporal do valor
num intervalo
é dada por
calcule o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico em um período de oscilação. Sugestão: Utilize as expressões
e
para o cálculo das integrais.
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;
Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades:
;
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: