Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: 5(1-imath)(2-imath)(3-imath)=12 imath;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar que a expressão 5(1-imath)(2-imath)(3-imath) é igual a 12 imath. Vamos usar conhecimentos de números complexos, como a multiplicação de números complexos e a simplificação de expressões fracionárias envolvendo o número imaginário imath (onde imath^2 = -1).

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os fatores do denominador (1-imath)(2-imath)(3-imath). Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Vamos multiplicar os dois primeiros fatores: (1-imath)(2-imath). Usando a propriedade distributiva:
(1-imath)(2-imath) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-imath) + (-imath) cdot 2 + (-imath) cdot (-imath)
Simplificando:
= 2 - imath - 2imath + imath^2
Sabemos que imath^2 = -1, então:
= 2 - 3imath - 1 = 1 - 3imath

Passo 4

Agora, multiplicamos o resultado (1 - 3imath) pelo terceiro fator (3 - imath):
(1 - 3imath)(3 - imath) = 1 cdot 3 + 1 cdot (-imath) + (-3imath) cdot 3 + (-3imath) cdot (-imath)
Simplificando:
= 3 - imath - 9imath + 3imath^2
Novamente, usando imath^2 = -1:
= 3 - 10imath - 3 = -10imath

Passo 5

Agora que temos o denominador simplificado, a expressão original fica:
5(1-imath)(2-imath)(3-imath) = 5-10imath
Podemos simplificar essa fração dividindo 5 por -10:
= 5-10 cdot 1imath = -12 cdot 1imath

Passo 6

Para resolver 1imath, lembramos que 1imath = -imath. Então:
-12 cdot 1imath = -12 cdot (-imath) = 12 imath

Resposta

Portanto, demonstramos que:
5(1-imath)(2-imath)(3-imath) = 12 imath

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