Sabendo que a média temporal do valor f(t) num intervalo 0 <= t <= tau é dada por
barf=1tau integral0^tau f(t) d t
calcule o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico em um período de oscilação. Sugestão: Utilize as expressões sin ^2 x=1-cos 2 x2 e cos ^2 x=1+cos 2 x2 para o cálculo das integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico durante um período de oscilação. Isso envolve entender conceitos de médias temporais e aplicar algumas identidades trigonométricas para facilitar os cálculos das integrais. Vamos precisar usar a fórmula da média temporal e as identidades e para resolver as integrais envolvidas nas energias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico. Um exemplo clássico é uma mola com uma massa presa: quando você estica ou comprime a mola e solta, a massa oscila para frente e para trás. As energias envolvidas nesse sistema são:
  • Energia Cinética (EC): Está relacionada ao movimento da massa e é dada por:
    EC = 12 m v^2
    onde EP = 12 k x^2 é a massa e x(t) = A sin(omega t) é a velocidade.
  • Energia Potencial Elástica (EP): Relaciona-se à posição da massa e é dada por:
    onde é a constante elástica da mola e é o deslocamento da posição de equilíbrio.
Sabemos que em um oscilador harmônico, o deslocamento pode ser descrito por uma função seno ou cosseno, por exemplo:
onde é a amplitude e é a frequência angular.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética média EC = 1tau integral0^tau EC(t) , dt durante um período EC = 1tau integral0^tau 12 m v^2(t) , dt . A média temporal é dada por:
v(t) = dxdt = A omega cos(omega t)
Substituindo a expressão de EC = 1tau integral0^tau 12 m (A omega cos(omega t))^2 , dt :
EC = 12 m A^2 omega^2 cdot 1tau integral0^tau cos^2(omega t) , dt
Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento:
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral cos^2 x = 1 + cos 2x2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica sugerida:
integral0^tau cos^2(omega t) , dt = integral0^tau 1 + cos(2omega t)2 , dt = 12 integral0^tau 1 , dt + 12 integral0^tau cos(2omega t) , dt
Aplicando essa identidade:

Passo 5

Calculando cada parte da integral:
  1. integral0^tau cos^2(omega t) , dt = tau2
  2. EC = 12 m A^2 omega^2 cdot tau2tau = 14 m A^2 omega^2 (pois )
Então:
Substituindo de volta na expressão da energia cinética média:

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a energia potencial média EP = 1tau integral0^tau EP(t) , dt = 1tau integral0^tau 12 k x^2(t) , dt :
EP = 12 k A^2 cdot 1tau integral0^tau sin^2(omega t) , dt
Substituindo integral0^tau sin^2(omega t) , dt = integral0^tau 1 - cos(2omega t)2 , dt = 12 integral0^tau 1 , dt - 12 integral0^tau cos(2omega t) , dt :
12 integral0^tau 1 , dt = tau2, 12 integral0^tau cos(2omega t) , dt = 0
Usando a identidade integral0^tau sin^2(omega t) , dt = tau2 :
EP = 12 k A^2 cdot tau2tau = 14 k A^2
Calculando:
Então:
Substituindo de volta:

Passo 7

Finalmente, temos as médias das energias:
  • Energia Cinética Média:
    EC = 14 m A^2 omega^2
  • Energia Potencial Média:
    EP = 14 k A^2

Resposta

A média das energias cinética e potencial elástica do oscilador harmônico durante um período de oscilação são, respectivamente:
EC = 14 m A^2 omega^2 e EP = 14 k A^2

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: (1-imath)^4=-4;
integral0^1 integralarctg x^pi / 4 f(x, y) d y d x
Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos: 5(1-imath)(2-imath)(3-imath)=12 imath;
Utilizando a forma trigonométrica dos números complexos, demonstre as igualdades: 5 i2+imath=1+2 imath;