Sabendo que a média temporal do valor num intervalo é dada por
calcule o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico em um período de oscilação. Sugestão: Utilize as expressões e para o cálculo das integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o valor médio das energias cinética e potencial elástica de um oscilador harmônico durante um período de oscilação. Isso envolve entender conceitos de médias temporais e aplicar algumas identidades trigonométricas para facilitar os cálculos das integrais. Vamos precisar usar a fórmula da média temporal e as identidades e para resolver as integrais envolvidas nas energias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico. Um exemplo clássico é uma mola com uma massa presa: quando você estica ou comprime a mola e solta, a massa oscila para frente e para trás. As energias envolvidas nesse sistema são:
Energia Cinética (EC): Está relacionada ao movimento da massa e é dada por:
onde é a massa e é a velocidade.
Energia Potencial Elástica (EP): Relaciona-se à posição da massa e é dada por:
onde é a constante elástica da mola e é o deslocamento da posição de equilíbrio.
Sabemos que em um oscilador harmônico, o deslocamento pode ser descrito por uma função seno ou cosseno, por exemplo:
onde é a amplitude e é a frequência angular.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética média durante um período EC = 1tau integral0^tau 12 m v^2(t) , dt . A média temporal é dada por:
v(t) = dxdt = A omega cos(omega t)
Substituindo a expressão de EC = 1tau integral0^tau 12 m (A omega cos(omega t))^2 , dt :