Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integrais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de antiderivadas e das derivadas trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que:
Passo 3
Se a derivada de
é
, então a antiderivada de
deve ser o oposto de
. Ou seja:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
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Encontre os pontos de equilíbrio para a equação diferencial (i) e determine se cada um deles é assintoticamente estável, semi-estável ou instavel.
<html><head></head><body><div>Determine as derivadas parciais da função:<br>
(e) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.797ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.673ex” height=“2.689ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -836.6 6485.6 1188.7”><title>w = ln(t * s) + t / s</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D464” d=“M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 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transform=“translate(3272.6,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3633.6,0)”><path data-c=“1D460” d=“M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 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196T148 231Q131 256 131 289Z”></path></g><rect width=“531.6” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
(e) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.797ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.673ex” height=“2.689ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -836.6 6485.6 1188.7”><title>w = ln(t * s) + t / s</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D464” d=“M580 385Q580 406 599 424T641 443Q659 443 674 425T690 368Q690 339 671 253Q656 197 644 161T609 80T554 12T482 -11Q438 -11 404 5T355 48Q354 47 352 44Q311 -11 252 -11Q226 -11 202 -5T155 14T118 53T104 116Q104 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 293 29 315T52 366T96 418T161 441Q204 441 227 416T250 358Q250 340 217 250T184 111Q184 65 205 46T258 26Q301 26 334 87L339 96V119Q339 122 339 128T340 136T341 143T342 152T345 165T348 182T354 206T362 238T373 281Q402 395 406 404Q419 431 449 431Q468 431 475 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<html><head></head><body><div>Mostre que a solução geral da equação (1) é dada por</div>
<div><span class="math-block ">
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<div>onde <span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:</div>
<div><span class=“math-block “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -1.948ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“23.606ex” height=“5.027ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1361 10433.7 2222”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 1)”><path data-c=“222B” d=“M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z”></path></g><g 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